Sí. El axioma de elección es necesaria a fin de demostrar que todo espacio vectorial que no es finitely generado contiene un infinito subconjunto linealmente independiente.
El original de la consistencia de la prueba debido a Lauchli (1962) fue la construcción de un modelo en el que hay un espacio vectorial que no es abarcado por cualquier conjunto finito, pero cada apropiado subespacio es finito.
Es decir, cada colección de vectores linealmente independientes es finito.
Si usted tiene el axioma de dependiente de la elección, a continuación, en realidad se puede realizar la inducción que se sugieren y tienen un countably conjunto infinito de independiente de vectores. Pero esto está muy lejos de la plena axioma de elección.
Si uno intenta real duro, uno puede salirse con la contable de la elección (que es estrictamente más débiles que dependen de la elección). El argumento es como sigue:
Deje $\cal A_n$ ser la colección de todos los conjuntos linealmente independientes de tamaño $n$, ya que el espacio no es finitely generadas $\cal A_n$ es no vacío para todos los $n\neq 0$. Deje $A_n\in\cal A_n$ ser algunos set elegido. Utilizando de nuevo contables elección deje $A$ ser la unión de la $A_n$'s, y $A$ es contable, entonces se puede escribir como $\{a_n\mid n\in\omega\}$.
Pick $v_0=a_0$, y proceder por inducción para definir $v_{n+1}$ $a_k$ cuyo índice es el menos $k$ tal que $a_k$ no en el lapso de $\{v_0,\ldots, v_n\}$. Esta $a_k$ existe porque $A_{n+1}$ abarca un espacio vectorial de dimensión$n+1$, por lo que no puede ser un subconjunto de a $\operatorname{span}\{v_0,\ldots,v_n\}$.
El conjunto $\{v_n\mid n\in\omega\}$ es linealmente independiente, que sigue a partir de la elección de la $v_n$'s.
Curiosamente, Lauchli del ejemplo fue el de un espacio que cada endomorfismo es una multiplicación escalar y como el anterior indica esta construcción también contradice $\mathsf{DC}$. En mi tesis de maestría se me mostró que usted puede tener $\mathsf{DC}_\kappa$ y aún así tener un espacio vectorial que no tiene endomorphisms excepto la multiplicación escalar - incluso si tiene relativamente grande subespacios.
