Vector complejo paquetes que no son holomorphic

Question

Hay un ejemplo de un complejo paquete en $CP^n$ o en un Fano variedad (definida sobre los números complejos), que no admite una holomorphic estructura? Se impone, por supuesto, que las clases de Chern de que el paquete es de $k,k$ Hodge clases (que es automático por $CP^n$ o Fanos de dimensión<4). Si por casualidad tales ejemplos son conocidos, ¿cuál es la menor dimensión de la variedad (o el paquete)?

Por $CP^1$ es elemental ver que todos los paquetes son de holomorphic. En el libro de Okonek y Schneider se afirma, que todo el complejo paquetes en $CP^2$ y $CP^3$ son también holomorphic. Pero por $CP^n$, $n\ge 4$ esto se afirma como un problema abierto (como por 1980).

Answer 1

Aquí está la respuesta a la pregunta, amablemente me explicó por Burt Totaro.

EDITADO. Este es un PROBLEMA ABIERTO.

0) el apperently en el caso del CP^n exitence de un complejo paquete sin holomorphic estructura es todavía un PROBLEMA ABIERTO. A pesar de que se terminó por creer que debe haber un montón de ejemplos a partir de $n\ge 5$, procedentes de topológicamente indecomposable rango dos paquetes, el apperently no hay tal paquete se ha demostrado que no holomorphic como para el día de hoy.

1) Un toplologically no-trivial de rango 2 complejo paquete con $c_1=0$, $c_2=0$ se construyó en

Rees, Elmer, Algunos de rango dos paquetes en $P_{n}$ C, cuyas clases de Chern desaparecer. Variétés analytiques compactes (Colloq., Agradable, 1977).

También fue dicho en este artículo que este paquete no admitir un holomorphic estructura. Pero esta afirmación se deduce de un artículo que contenía una brecha. Por lo que se desconoce si este particular bundle tiene holomorphic strucutre o no. Esto se discute en M. Schneider. Holomorphic vector de paquetes en la P^n. Seminaire Bourbaki 1978/79, exponer 530.

Esta es la razón por la Okonek y Schneider escribe en su libro p. 137 que este es un problema abierto.

2) En el lado positivo está demostrado que cada vector complejo paquete en un suave proyectiva racional 3 veces tiene un holomorphic estructura.

C. Banica y M. Putinar. En vector complejo bultos en proyectivos threefolds. Inventar. De matemáticas. 88 (1987), 427-438.

3) Si uno quiere construir ejemplos de paquetes en proyectivas de colectores que no son necesserely Fanos es posible utilizar el hecho de que la integral de la conjetura de Hodge falla. Namelly hay elementos en $H^{2}(X,Z)$, que son en $H^{p,p}$ pero el que no están representados por una expresión algebraica ciclo. Kollar dio tales ejemplos con $dim(X)=3$. Un reciente referencia, que se refiere a los resultados anteriores, es:

C. Soule y C. Voisin. Torsión cohomology clases y algebraicas de los ciclos de en el complejo proyectivas de los colectores. Adv. De Matemáticas. 198 (2005), 107-127

4) Una razón para esperar que los ejemplos de tales grupos en las dimensiones superiores es Schwarzenberger la conjetura de que todo el rango-2 algebraica de vectores paquete E, en $P^n$ con $n\ge 5 dólares es una suma directa de dos línea de paquetes. Así, por ejemplo, si $c_1(E)=0$ entonces $c_2(E)=-d^2$ para algún entero d, de acuerdo a la conjetura.