¿Por qué no la definición de las variables aleatorias como clases de equivalencia?

Question

La definición habitual de una variable aleatoria (o elemento aleatorio) es la de una función medible $X : (\Omega, \mathcal{F}, P) \rightarrow (\Omega', \mathcal{F}')$. Ahora, yo no soy consciente de que cualquier propiedad o teorema que depende de los valores específicos de $X$ por cada $\omega \in \Omega$. En particular, cualquier otro $P$-casi seguramente la igualdad de variable aleatoria $X'$ es generalmente considerado como equivalente a $X$ para todos los propósitos prácticos.

Así que hay una buena razón para no definir variables aleatorias como equivalente de clases en lugar de tomarse la molestia de precisar cada vez que tal o cual afirmación es verdadera, casi con toda seguridad, de que tal o cual secuencia converge casi seguramente, de que tal o cual objeto es único, casi con toda seguridad, etc ? Como una comparación de la definición de $L^p$ espacios como espacios de equivalente clases de casi igual en todas partes funciones de gran ayuda en la simplificación de la redacción de la teoría.

Así hay algunos interesantes y complejos los casos en los que realmente se necesitan para mantener la distinción entre los casi seguramente la igualdad de variables aleatorias?

Answer 1

Una de las primeras clases de ejemplos que vienen a la mente cuando esta materia preocupaciones de la casi seguro de que las propiedades de las realizaciones de los procesos aleatorios indexados por innumerables conjuntos, decir la casi seguro de Hölder la continuidad de las trayectorias del movimiento Browniano $(B_t)$. Si uno permite modificar cada una variable aleatoria $B_t$ sobre un valor null conjunto, los trazados resultantes $t\mapsto B_t(\omega)$ puede quedar feo para cada $\omega$ en un evento de probabilidad positiva.

Edit: con Respecto a la "fea" anterior, el usuario @tomasz menciona un punto útil en un comentario más abajo, que ahora me reproducir: si uno permite modificar cada una variable aleatoria en un conjunto null, el supremum de un arbitrario (innumerables) de la familia de funciones medibles no necesita ser medibles, ni siquiera si las funciones están en casi todas partes de cero (es decir, los indicadores de puntos).

Answer 2

Aunque cada finito momento de una variable aleatoria $X$ será igual a la correspondiente momento de los dos "equivalente" de la variable aleatoria $X^\star$, se podría considerar el rango de distribución de una propiedad interesante. Si se considera el rango de ser interesante, entonces considere las siguientes dos distribuciones, ambos derivados de un subyacente aleatorios uniformes $U$$[0,1]$: $$ X: \begin{array}{lc} X = & \left\{ \begin{array}{cl} U & U \mbox{ irrational}\\ -U & U \mbox{ rational} \end{array}\right.\\ X^\estrella = &U \end{array} $$ La variable $X$ es casi seguramente igual a$X^\star$, pero el rango de $X$$[-1,1)$, mientras que el rango de $X^\star$$(0,1)$.