Función zeta de Riemann y módulo

Question

La ecuación funcional de la función zeta $ζ(s)$ viene dada por

$ζ(s)=f(s)ζ(1-s)$

(a) Sabemos que si $Re(s)=1/2$ entonces $|f(s)|=1$ .

Mi pregunta es sobre el caso en que $|f(s)|=1$ fuera de la línea crítica. ¿Es posible este caso, es decir,

(b) ¿Esta implicación "si $|f(s)|=1$ entonces $Re(s)=1/2$ " ¿correcto?

Answer 1

• (a) si $Re(s)=1/2$ entonces $|f(s)|=1$ : esto es cierto y nos permite encontrar una expresión sencilla de la fase de la función zeta de Riemann en la línea crítica.

• b) la función $f(s)$ no contiene $\zeta$ desde $f(s)$ es, de la ecuación funcional : $$\tag{1}f(s)=2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac {\pi s}2\right)\Gamma(1-s)$$ pero $|f(s)|$ puede ser $1$ fuera de la línea crítica como se puede ver en esta foto de $|f(x+i y)]-1$ :

  La línea vertical en $x=\frac 12$ da la solución $(a)$ pero dos soluciones a $|f(x+i y)]=1$ existen para $y$ cerca de $2\pi$ y $-2\pi$ (para $x$ cerca de $\frac 12$ ver también esto discusión sobre Siegel- $\theta$ ). Tendrás que excluir estas dos soluciones para que tu implicación sea correcta.

$\qquad$ Otro punto de vista:

Y con esta foto para $x$ entre $-30$ y $30$ una especie de símbolo para su "superbúsqueda" :-)

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APROXIMACIONES:
En el resto supondremos siempre que $x\in[0,1]$ y sólo considerará el caso $y>0$ .

Recordemos $6.1.30$ de A&S : $$\tag{2}\left|\Gamma\left(\frac 12+iy\right)\right|^2=\frac {\pi}{\cosh(\pi y)}$$ Una excelente aproximación para otros valores de $x$ (cuando $y>2$ ) viene dada por : $$\tag{3}\left|\Gamma\left(x+iy\right)\right|^2\approx\frac {\pi\;y^{2x-1}}{\cosh(\pi y)}$$ (el error es menor que $0.4\%$ y disminuyendo rápidamente con $y$ )

Desde $\ \left|\sin\left(\frac {\pi (x+iy)}2\right)\right|^2=\cosh^2\bigl(\frac{\pi\;y}2\bigr)-\cos^2\bigl(\frac {\pi\;x}2\bigr)\ $ y $\ \left|(2\pi)^{x+iy}\right|^2=(2\pi)^{2x}\;$ obtenemos :

\begin {align} |f(x+iy)|^2& \approx\left | \frac {(2 \pi )^{x+iy}}{ \pi } \sin\left ( \frac { \pi (x+iy)}2 \right ) \right |^2 \frac { \pi\ ;y^{1-2x}}{ \cosh ( \pi y)} \\ & \approx\frac {(2 \pi )^{2x}}{ \pi } \left ( \cosh ^2 \left ( \frac { \pi\ ;y}2 \right )- \cos ^2 \left ( \frac { \pi\ ;x}2 \right ) \right ) \frac {\a6;y^{1-2x}} \cosh ( \pi y)} \\ \tag {4}& \approx \left ( \frac {2 \pi }y \right )^{2x} \frac y{ \pi } \frac { \cosh ^2 \left ( \frac { \pi\ ;y}2 \right )- \cos ^2 \left ( \frac { \pi\ ;x}2 \right )}{ \cosh ( \pi y)} \\ \end {align}

Ahora para $y\gg 1$ la fracción de la derecha convergerá a $\frac 12$ (ya que $|\cos|\le 1$ ) y tendremos : $$\tag{5}|f(x+iy)|\sim \left(\frac{2\pi}y\right)^{x-1/2}\quad\text{for}\ y\gg 1$$ que muestra claramente todas las cosas de interés para nosotros :

• para $x=\frac 12$ obtenemos $|f(x+iy)|=1$ independientemente de $y$
• sólo hay otra solución : $y\approx 2\pi$ (considerando $y>0$ )
• el aspecto visual de la aproximación no muestra ninguna diferencia real :

Por supuesto, esto no es una prueba completa: el término de error en $(3)$ hasta el siguiente orden debe ser encontrado (posiblemente usando las expansiones de A&S y propagado) demostrando que $x\mapsto |f(x+iy)|$ es decreciente para $y>K$ y aumentando para $y<K$ (con $K$ alguna constante cerca de $2\pi$ ). $|f(x+iy)|$ debería estudiarse con más cuidado para $y$ cerca de $0$ y así sucesivamente. Pero, al menos en principio, me parece bien, así que: ¡buena continuación!

Answer 2

He trazado esto $f(s)$ antes. Podría ser más fácil visualizar las raíces de $|f(s)|=1$ de la gráfica de contorno de abajo.

Milgram (arxiv:0911.1332v2) observó las raíces de $|f(s)|=1$ con $\Re(s)\not=1/2$ .

Spira (1965,UNA DESIGUALDAD PARA LA FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN) demostró que:

TEOREMA 1. Para $y\geq 10, 1/2 <x< 1, |f(s)|> 1$ .

El límite inferior de $y$ ha sido reducido a un número alrededor de 7 por otros (cf. los trabajos que citaron el trabajo de Spira. También se menciona en algún lugar de estos trabajos que la gente se pregunta si la hipótesis de Riemann puede demostrarse sólo con el conocimiento de la ecuación funcional $ζ(s)=f(s)ζ(1-s)$ ).

Pero Spira mencionó que su teorema no puede utilizarse directamente para demostrar que $\zeta(s)$ no tiene ceros fuera de la línea crítica ( $\Re(s)=1/2$ ) para $y\geq 10$ .

Albeverio y Cebulla (2007,Müntz formula and zero free regions for the Riemann zeta, Bull. Sci. math. 131 (2007) 12-38) demostraron que

Corolario 4.10. No hay ceros de la $\zeta(s)$ función de la forma $s = x + iy$ , $x \in (0, 1)$ , $0< |y|< 2\pi/\log(2)\approx9.06$ .

Si se puede utilizar una variación del teorema 1 de Spira para demostrar que $\zeta(s)$ no tiene ceros fuera de la línea crítica para $y\geq 9$ entonces, en vista del Corolario 4.10. de Albeverio y Cebulla, se puede demostrar que $\zeta(s)$ no tiene ceros fuera de la línea crítica ( $\Re(s)=1/2$ ) para $0<|y|$ .