Le pregunté a mi profesor cuál es el verdadero significado de $\cfrac{0}{0}$ y la respuesta que obtuve fue "nadie lo sabe". No puedo dejar este tema "como está". Necesito una explicación decente, al menos una explicación de por qué "nadie lo sabe". Estoy seguro de que se te ocurrirán algunas buenas respuestas.
Respuestas
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Trevor Wilson
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12994
La expresión $0/0$ no tiene sentido porque la operación de división $(a,b) \mapsto a/b$ no está definida para los pares $(a,b)$ donde $b$ es cero, al igual que no está definido para los pares $(a,b)$ donde $b$ es un elefante.
A veces se oye que $0/0$ es una "forma indeterminada" que puede equivaler a cosas diferentes según el contexto. Esta es una forma terriblemente imprecisa de hablar. Lo que realmente significa es que si estás evaluando un límite y haces el cálculo
$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to 0} f(x)}{\lim_{x \to 0} g(x)} = \frac{0}{0}$$
Entonces te has equivocado en el primer paso y tienes que evaluar el límite de otra manera, Por ejemplo con la regla de l'Hospital, para obtener una respuesta válida (que podría ser cualquier cosa dependiendo de las particularidades del problema, de ahí lo de "indeterminado"). La razón por la que el primer paso del cálculo mostrado es un error es que la regla "el límite de un cociente es el cociente de los límites" no es cierta en general, sólo lo es cuando el límite del denominador es distinto de cero.
Realmente espero que tu profesor de cálculo no haya dicho "nadie sabe": $\frac{0}{0}$ se entiende bastante bien. Lo que ocurre es que no está definido (sin más contexto).
Lo que quiero decir con "contexto" es que es posible dar sentido a límites de la forma $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$ donde $\lim_{x \to a}f(x) = 0$ y $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ pero esto depende de su elección de $f$ y $g$ . Por ejemplo $$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{kx}-1}{x} = k, \quad \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{x^3} = \infty, \quad \cdots$$ Todos ellos son diferentes, a pesar de que todos son de la forma $\frac{0}{0}$ .
Así que no es que nadie lo sepa, ¡es que no tiene sentido! Pero nosotros puede asignar un significado si sabemos cómo el $0$ s en la fracción llegó a ser.
Josué
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1982
melody
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6
Bueno, si $0/0$ está bien definida, entonces debería encajar bien con nuestra definición de división. Específicamente, $a/b = c$ si $a = cb$ . Así que tiene que haber alguna c tal que $0c = 0$ . Intentemos 1. $0\cdot 1 = 0$ Así que $0/0 = 1$ .
No está mal. Ahora probemos con dos. $0\cdot 2 = 0$ Así que $0/0 = 2$ . Como la igualdad es transitiva, $1=2$ .
Aaaaa y acabamos de romper las matemáticas. Resolvemos esto diciendo que $0/0$ no está definida, lo que hace que todo funcione bien con un mínimo de complicaciones.
