¿Por qué $A^TA=I, \det A=1$ media $A$ ¿es una matriz de rotación?

Question

Sé que si $A^TA=I$ , $A$ es una matriz ortogonal. Las matrices ortogonales también son de dos tipos: si $\det A=1$ , $A$ es una matriz de rotación; si $\det A=-1$ , $A$ es una matriz de reflexión.

Mi pregunta es ¿Cuál es la relación entre el determinante de $A$ y la rotación/reflexión. ¿Puede explicar por qué $\det A=\pm 1$ significa $A$ ¿es una rotación/reflexión desde la perspectiva geométrica?

EDITAR : Creo que primero hay que resolver las siguientes cuestiones.

• ¿Las matrices de rotación sólo existen en el espacio 2D y 3D? Es decir: para cualquier matriz dimensional, siempre que sea ortogonal y con determinante 1, la matriz representa una transformación de rotación, ¿no? Obsérvese que la ortogonalidad y el determinante son aplicables a matrices de dimensiones arbitrarias.
• ¿Cuál es la definición más fundamental de una transformación de rotación?
• Dado que una matriz ortogonal preserva la longitud y el ángulo, ¿podemos decir que una matriz ortogonal representa una transformación de "cuerpo rígido"? La transformación "cuerpo rígido" contiene dos tipos básicos: la rotación y la reflexión?

Answer 1

Dos reflexiones a través de un punto $R_1R_2$ hacer una rotación $S$ :

$$R_1R_2 = S$$

y $$det(AB) = det(A)*det(B) = ±1$$

Answer 2

Podrías simplemente escribir los componentes para confirmar que esto es así -- una forma mucho más interesante de entender las cosas, sin embargo, es escribir la condición como:

$$A^TIA=I$$

La idea es que la matriz $A$ preserva la forma cuadrática de identidad -- nota que $I$ es una forma cuadrática aquí y no una transformación lineal, ya que esta es la ley de transformación para las formas cuadráticas ( $A^TMA$ en lugar de $A^{-1}MA$ ).

La sección hipercónica correspondiente a la forma cuadrática identidad es la esfera unitaria -- por lo tanto las transformaciones ortogonales son todas aquellas que preservan la esfera unitaria. Otra forma de decirlo es que $(Ax)^TI(Ay)=x^TA^TIAy=x^TIy$ es decir, el producto punto euclidiano $I$ se mantiene por $A$ . Esto equivale a preservar la esfera unitaria, porque la esfera unitaria está determinada por el producto punto en el espacio dado.

¿Qué tipo de transformaciones conservan la esfera unitaria?

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La razón por la que esta es una buena forma de entender las cosas es que hay muchos otros "productos de puntos" que se pueden definir. Uno de los productos elementales de la física es el producto de puntos de Minkowski en la relatividad especial, $\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ -- la superficie cuádrica correspondiente es un hiperboloide, y las transformaciones que lo preservan, formando el grupo de Lorentz, son los impulsos (inclinaciones entre el tiempo y una dimensión espacial), las rotaciones espaciales y las reflexiones.

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En cuanto a la discriminación entre rotaciones y reflexiones, supongamos que definimos las rotaciones de una manera completamente geométrica -- para que una matriz sea una rotación, todos sus valores propios son 1 o en pares de conjugados complejos unitarios.

¿Cómo son los valores propios de las matrices ortogonales? Para cada valor propio se necesita $\overline{\lambda}\lambda=1$ es decir, todos los valores propios son números complejos unitarios. Si un valor propio complejo no está emparejado con su correspondiente conjugado, no se obtendrá una transformación de valor real en $\mathbb{R}^n$ . Mientras tanto, si un valor propio de -1 no está emparejado con otro -1, es decir, si hay un número impar de reflexiones, se obtiene una reflexión. Las transformaciones ortogonales (o más bien unitarias) que no se comportan así son precisamente las rotaciones.

La similitud entre los eigenvalores complejos unitarios no emparejados y los -1 no emparejados es interesante, por cierto -- cuando se piensa en las reflexiones, se puede haber obtenido la idea de que las reflexiones son $\pi$ -rotaciones angulares en un espacio de mayor dimensión -como si el vector hubiera girado a través de un espacio de mayor dimensión y luego hubiera aterrizado en su reflejo- como si fuera una instantánea discreta de un proceso tan suave como cualquier rotación.

Bien, ahora sabes qué es este espacio de mayor dimensión precisamente $\mathbb{C}^n$ . Y el determinante de una matriz unitaria también toma un espectro continuo: todo el círculo unitario. En este sentido (entre otros) el álgebra lineal compleja es más "completa" que el álgebra lineal real.