Tate escribe en su artículo en Cassels y Frolich que el cohomology cálculos tienen su origen en la teoría de género (volviendo --- por lo menos \begin{align}
&\frac6{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}\\
&=\frac1{4k+1}-\frac3{4k+2}+\frac3{4k+3}-\frac1{4k+4}\\
&=\color{#C00000}{\left(\frac2{4k+1}-\frac2{4k+2}+\frac2{4k+3}-\frac2{4k+4}\right)}\\
&-\,\color{#00A000}{\left(\frac1{4k+1}-\frac1{4k+3}\right)}-\color{#0000FF}{\left(\frac1{4k+2}-\frac1{4k+4}\right)}
\end Gauss, Disquitiones).
No he ido tan lejos, pero he leído partes de Hilbert Zahlbericht, que, por ejemplo, su Teorema de los 90 apareció.
(Los teoremas son etiquetados en el orden en todo el libro).
Si nos fijamos en cómo Hilbert sostiene allí, él utiliza el Teorema 90 de la misma manera
softonic --- se da una fuga resultado, que puede ser alimentado en otros cálculos a través de
el lema de la serpiente (es decir, el mapa de los límites en la cohomology largo de la secuencia exacta). De hecho, él tiene muchos cálculos que son formas concretas de la serpiente lema en la
libro.
También hay cálculos con unidades, especialmente en el caso de la cíclica extensiones,
que son análogos a lo que podríamos describir como calcular el cociente de Herbrand
de la unidad del grupo (que hoy en día aparece como una entrada a lo largo del camino a la computación
el Herbrand cociente de la idele grupo de clase para un ciclo de extensión). (Nota
que este tipo de cálculos volver a Kummer. El capítulo por Rosen en
Las Formas modulares y el Último Teorema de Fermat da alguna buena penetración en esto.)
Como Rene Schipperus notas en otra respuesta, hubo una (al menos aparentemente)
subproceso independiente en la primera mitad del siglo 20, en el que Brauer, Hasse,
y Noether estaban estudiando central simple álgebras sobre los campos de número,
y descubrió y demostró que la suma de los locales de invariantes es cero. Ellos
entonces se dio cuenta de que este resultado podría ser aplicado a reprobar Artin la reciprocidad
la ley. (Véase este estudio histórico para obtener más detalles.)
Cuando la teoría de la central de simple álgebras fue modificado cohomologically, este
el desarrollo fue unificado con el anterior argumentos de la teoría de género, y
el moderno cohomological tratamiento surgido.
(Sin embargo, hay otro hilo de desarrollo, que es la sustitución de
de $L$-funciones en el argumento con algebraicas argumentos a través de Kummer teoría,
que no es tan relevante a la pregunta.)
Género de la teoría no es tan comúnmente tratados en los modernos alg. no. la teoría de los libros.
Avanzados de la teoría de números, por Harvey Cohn, da una discusión para cuadrática
campos (aunque la cohomological aspectos no son explícitas, puede
ver que Hilbert Thm. 90 juega un papel importante). Aquí está una hoja de ejercicios que se enciende cuando
google género de la teoría, y lo que es más cohomological.
[Por cierto, mientras que el grupo de cohomology literalmente salió de alg. topología,
los cálculos en alg. la teoría de los números que captura son mucho mayores!
E. g. Hilbert Thm. 90, al menos en el cíclico caso, sin duda es anterior a la invención de grupo cohomology por algebraicas topologists. Una cosa que
grupo cohomology es bueno es la expresión de la no-cylic caso; mi memoria
es que hubo un período cuando la gente --- tal vez Emmy Noether --- expresado
la no-cíclico caso de HT90 en el lenguaje de los cruzados homomorphisms etc.
que puede ser utilizado para hablar sobre grupo $H^1$. Debe de haber sido un alivio
para descubrir que todos los diferentes cálculos, cruzó homomorphisms,
factor de conjuntos invariantes locales, las pruebas de la Artin rec. la ley, y así sucesivamente,
podría ser unificado por el lenguaje de la gp. cohomology!]
