Es un subgrupo $H$ de un grupo $G$ normal si $g^2 \in H$ para todos $g \in G$ ?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo, $H\leq G$ y para todos $g\in G$ tenemos $g^2\in H$ . Es $H$ un subgrupo normal de $G$ ?

Answer 1

Piensa en esto: $$g^{-2}h^{-1}(hg)^2\in H$$ donde $g\in G$ es cualquier elemento y $h\in H$ .

Answer 2

He aquí una solución diferente.

Sea $N$ sea el subgrupo generado por los elementos $g^2$ , $g \in G$ . Entonces $N$ es un subgrupo normal, y $G/N$ es abeliano ya que $x^2 = 1$ para cada $x \in G/N$ . Así que si $g^2 \in H$ para todos $g \in G$ se deduce que $H$ contiene $N$ . Porque $G/N$ es abeliano, $H/N$ es un subgrupo normal de $G/N$ y así $H$ es un subgrupo normal de $G$ .