¿Podría haberse hecho la Tabla Periódica utilizando la teoría de grupos?

Question

Estas tres preguntas están formuladas como preguntas de historia alternativa, pero mi intención real es comprender mejor hasta qué punto los diferentes enfoques de modelización se ajustan a los fenómenos que se utilizan para describir; véase 1 para más información sobre este punto.

Las respuestas cortas de "opinión informada" están bien (mejor, de hecho).

1. Si Dmitri Mendeléyev había tenido acceso y una comprensión plena de la moderna teoría de grupos podría haber estructurado de forma plausible el tabla periódica de la química en términos de teoría de grupos, frente al formato tabular más sencillo basado en datos que utilizó en realidad?

2. Si Mendeléyev hubiera creado realmente una Tabla Periódica basada en la teoría de grupos, ¿habría aportado algún conocimiento específico, por ejemplo, quizá los primeros conocimientos de la teoría cuántica?

3. La pregunta inversa: Si Murray Gell-Mann y otros no habían utilizado conceptos de la teoría de grupos como $SU(3)$ para organizar las partículas en familias y, en su lugar, hubieran recurrido a métodos sencillos de agrupación y organización gráfica más parecidos a los de Mendeléyev, ¿hay alguna posibilidad significativa de que hubieran tenido éxito? O, de forma menos especulativa, ¿es posible crear estructuras organizativas útiles, concisas y precisas (presumiblemente basadas en quarks) que expliquen plenamente los datos sobre partículas de los años setenta sin hacer cualquier referencia a estructuras algebraicas?

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1 Antecedentes: Mi perspectiva sobre las cuestiones anteriores consiste en comprender la interacción entre el poder expresivo y el ruido en las estructuras de la teoría real. Una forma de explicarlo es señalar que la modelización matemática de conjuntos de datos tiene ciertas similitudes fuertes (y profundas) con el concepto de compresión de datos.

En el lado positivo, tanto una buena teoría como una buena compresión consiguen expresar todos los datos conocidos utilizando sólo un número mucho menor de fórmulas (caracteres). En el lado negativo, incluso las compresiones muy buenas pueden descarriarse añadiendo "artefactos", es decir, detalles que no están en los datos originales y que, por tanto, constituyen una forma de ruido. Del mismo modo, las teorías también pueden añadir "artefactos" o detalles que no están en el conjunto de datos original.

La tabla periódica y $SU(3)$ representan dos extremos del estilo de representación. El formato de la tabla periódica parecería tener poca fuerza expresiva y poca precisión, mientras que $SU(3)$ tiene un alto poder de representación y precisión. El énfasis asimétrico y en última instancia engañoso en la extrañeza en el original Camino óctuple es un ejemplo explícito de artefacto introducido por ese poder superior. Ahora sabemos que la extrañeza no es más que un fragmento --el primer "quark down" paralelo-- de la cuestión de las tres generaciones y esa extrañeza apareció primero sólo porque era más fácilmente accesible por los aceleradores de partículas de la época.

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2012-06-30 - Actualización de las respuestas finales

He seleccionado Luboš Motl 's responder como la más persuasiva con respecto a las preguntas que formulé. Si echas un vistazo al enlace que incluye, verás que ha estudiado esta cuestión con minucioso detalle en lo que respecta a qué tipo de representación funciona mejor y por qué. Dado que la cuestión de "cuál es la forma más adecuada de representación" era el núcleo de mi pregunta, su respuesta es impresionante.

Dicho esto, también recomendaría a cualquier persona interesada en cómo y hasta qué punto puede aplicarse la teoría de grupos a problemas de complejidad interesantes e inesperados, aunque sólo sea de forma aproximada, que también estudie detenidamente David Bar Moshe fascinante respuesta sobre toda una conferencia que estudiaba si la teoría de grupos podía aplicarse con sentido a los elementos químicos. Esta excelente respuesta señala un rico e inesperado conjunto de exploraciones históricas de la cuestión. Si pudiera, también lo señalaría como una respuesta desde una perspectiva diferente.

Por fin, Arnold Neumaier 's responder muestra cómo un subconjunto cuidadosamente definido del problema puede ser abordable con métodos de teoría de grupos de forma predictiva, que para mí es el criterio más fundamental para que un modelo pase de ser "sólo datos" a convertirse en una verdadera teoría. Y de nuevo, marcaría esta como una respuesta si pudiera.

Gracias a los tres por ofrecer respuestas tan interesantes, inesperadas y profundas.

Answer 1

No, los elementos de la tabla periódica no forman ninguna representación de un grupo o, más exactamente, ninguna representación irreducible. Más exactamente aún, las verdaderas intuiciones de Mendeleev -que la reactividad, etc., es una función repetitiva del número atómico- no se deducen de ninguna propiedad de una representación que pueda derivarse mediante la teoría de grupos.

La tabla periódica se reduce a los electrones que llenan las envolturas del átomo, estados cuánticos que se aproximan a los eigenestados energéticos de un átomo de hidrógeno reescalado. Lo más parecido a tu proyecto que se puede hacer en realidad es resolver el hidrógeno completo mediante la fórmula $SO(4)$ simetría - la simetría rotacional realzada por el vector Runge-Lenz:

http://motls.blogspot.com/2011/11/hydrogen-atom-and-so4-symmetry.html

Esta solución dicta no sólo las degeneraciones sino incluso las energías porque el Hamiltoniano es una función de Casimir. Y estas energías son importantes para determinar qué $Z$ producen elementos más reactivos. Los átomos más complicados no tienen $SO(4)$ simetría, sólo $SO(3)$ y no pueden ser resueltos puramente por simetrías. La simetría óctuple es útil porque los bloques elementales de construcción son numerosos y llevan varias etiquetas - como los quarks vienen en diferentes sabores. Pero no es el caso de los átomos en la aproximación de la química o de la física atómica para la que el núcleo sólo importa en lo que se refiere a su carga, es decir $Z$ y los electrones son las únicas partículas que importan, sin índices de sabor. Así que simplemente no hay lugar para simetrías óctuples, etc. La simetría fundamental entre partículas elementales es $U(1)$ no $SU(3)_f$ como lo es para los quarks ligeros.

Si despreciamos las interacciones electrón-electrón en los átomos, obtenemos otro problema solucionable, uno en el que literalmente llenamos conchas del átomo de Hidrógeno. Este sistema es una especie de átomo de hidrógeno de segunda cuantificación y tiene solución. Podríamos decir que se puede resolver mediante la teoría de grupos. Por supuesto, esta aproximación conduce en última instancia a una ordenación errónea de las envolturas y la tabla periódica predicha sería errónea para los átomos de hidrógeno altos. $Z$ También.

Para concluir, los sistemas físicos que pueden resolverse completamente sólo mediante la teoría de grupos -e incluso las propiedades de los sistemas físicos que pueden determinarse mediante la teoría de grupos- son bastante raros, una minoría bastante pequeña de las preguntas que podemos hacernos. Los átomos son lo bastante complicados como para que sus propiedades se reduzcan a dinámicas más complejas que las meras simetrías.

Answer 2

Aunque no se conoce ninguna representación de grupo que encierre todas las propiedades de la tabla periódica, hay, sin embargo, intentos de obtener una comprensión teórica de la representación de la tabla periódica al menos cualitativamente y hay trabajos recientes principalmente de M. Kibler en este sentido, véanse los dos artículos siguientes arXiv:quant-ph/0310155 et arxiv: quant-ph/0503039 .

La idea básica es que ciertas propiedades (como los espectros) de los sistemas cuánticos complejos pueden comprenderse aproximadamente utilizando modelos basados en grupos dinámicos. Un grupo dinámico (véase, por ejemplo colección de artículos sobre el tema) se define como un grupo del que el espacio de fase del sistema es una órbita coadjunta. Utilizando este método, el espectro del átomo de hidrógeno, tanto para los estados ligados como para los estados de dispersión, puede calcularse exactamente a partir de series discretas y series principales. calcularse exactamente a partir de representaciones en serie discreta y en serie principal de $SO(4,1)$ y $SO(4,2)$ , ambos son grupos dinámicos del átomo de hidrógeno. Además, el grupo $SU(1,1)$ puede utilizarse como grupo dinámico generador del espectro del oscilador armónico.

En situaciones más complejas, una elección inteligente de un grupo dinámico, que describa los grados de libertad importantes de un sistema en una situación dada, puede dar predicciones cualitativas e incluso semicuantitativas de la dinámica del sistema complejo; un ejemplo es el uso del grupo SU(6) para describir estados nucleares colectivos; véase, por ejemplo: Arima e Iachelo . También hay aplicaciones en la física de la materia condensada y la física de partículas.

Ahora, el grupo dinámico seleccionado por Kibler es el grupo $SO(4,2) \otimes SU(2)$ . El grupo $SO(4,2)$ se eligió porque es un grupo dinámico del átomo de hidrógeno y el grupo $SU(2)$ describe el giro. La estructura de producto directo indica que este modelo no tiene en cuenta las correlaciones electrónicas.

Una representación dimensional infinita específica de $SO(4,2)$ da rellenos orbitales muy cerca del Regla de Madelung . Kibler cree que es posible ampliar este trabajo y llegar a un modelo que explique más propiedades químicas de los elementos, como las energías de ionización, las afinidades electrónicas, los calores específicos y otras propiedades.

En conclusión, creo que el uso de la teoría de representaciones, especialmente de grupos de Lie no compactos, puede proporcionar valiosas predicciones aproximadas para este problema, así como para otros problemas complejos de la mecánica cuántica.

Answer 3

El trabajo de Kibler mencionado por David Bar Moshe es interesante, pero básicamente constituye una conjetura inteligente sin una base teórica sustancial.

Por otro lado, hay un trabajo muy interesante de teoría de grupos sobre el sistema periódico de Gero Friesecke basado en los primeros principios. Véase arXiv:0807.0628 y arXiv:0905.1236 . Su grupo calcula realmente orbitales, aunque en un límite no del todo realista, y sus métodos son matemáticamente impecables. Sólo obtienen una parte de la estructura del sistema periódico, pero de forma muy justificada.

Edición: Acabo de descubrir un artículo de 2009 de Friesecke y Goddard en el que incluso utilizan una extensión de su método para predecir errores de asignación de niveles en las tablas de la base de datos del NIST.

Answer 4

Peter Thyssen, de la Universidad Libre de Bélgica, escribió un interesante artículo sobre la teoría de grupos en las propiedades de la tabla periódica.