Integral definida sobre un simplex

Question

Dejemos que $T^d:=\{(x_1,..,x_d):x_i \geq 0, \sum_{i=1}^{d}x_i \leq 1\}$ sea el simplex estándar en $\mathbb{R}^d$ . Calcule la integral $$\int_{T^d} x_1^{\nu_1-1}x_2^{\nu_2-1}...x_d^{\nu_d-1}(1-x_1-...-x_d)^{\nu_0-1}$$ donde $\nu_i>0$ .

Observación: Sé que la respuesta es $$\frac{\prod_{i=0}^{d}\Gamma(\nu_i)}{\Gamma(\sum_{i=0}^{d}\nu_i)}.$$ Evalué para el caso $d=2$ utilizando la transformación $(p-1)\iiint\limits_{T^{3}} x^{m-1}y^{n-1}z^{p-2} \mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x= \iint\limits_{T^{2}} x^{m-1}y^{n-1}(1-x-y)^{p-1}\mathrm{d}y\mathrm{d}x$

y las sustituciones $ \left\{\begin{matrix}x=u^2& &\\y=v^2& &\\z=w^2& &\end{matrix}\right.$ y $ \left\{\begin{matrix}u=r\sin\varphi\cos\theta& &\\v=r\sin\varphi\sin\theta& &\\w=r\cos\varphi& &\end{matrix}\right.,$ pero este método es complejo para calcular el caso general.

Answer 1

Aquí está la solución de mi profesor en la Universidad Técnica de Darmstadt: Empezamos por realizar \begin{align*} \int_{[0,\infty]^{n}}\prod_{i=1}^{n}\exp(-x_{i})x_{i}^{\alpha_{i}-1}\mathrm{d}\mathbf{x} & =\prod_{i=1}^{n}\int_{0}^{\infty}\exp(-x_{i})x_{i}^{\alpha_{i}-1}\mathrm{d}x_{i}=\prod_{i=1}^{n}\Gamma(\alpha_{i}). \end{align*} Simplificamos \begin{align*} & \exp\underbrace{\left(-\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)}_{=-t}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha_{i}-1}\\ & =\exp\left(-t\right)\prod_{i=1}^{n-1}\left(tp_{i}\right)^{\alpha_{i}-1}\left(t\left(1-\sum_{j=1}^{n-1}p_{j}\right)\right)^{\alpha_{n}-1}\\ & =\left(\exp\left(-t\right)t^{\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\right)-n}\right)\left(\prod_{i=1}^{n-1}p_{i}^{\alpha_{i}-1}\left(1-\sum_{j=1}^{n-1}p_{j}\right)^{\alpha_{n}-1}\right) \end{align*} utilizando las transformaciones \begin{align*} t & =\sum_{j=1}^{n}x_{j},\\ x_{i} & =tp_{i},\\ x_{n} & =t\left(1-\sum_{i=1}^{n-1}p_{i}\right), \end{align*} que da lugar a un jacobiano \begin{align*} \mathbf{J} & =\begin{bmatrix}t\mathbf{I} & \mathbf{p}\\ -t\mathbf{1}_{n-1}^{\intercal} & \left(1-\mathbf{1}_{n-1}^{\intercal}\mathbf{p}\right) \end{bmatrix} . \Fin La estructura diagonal de bloques de la parte superior $(n-1)\times(n-1)$ matriz hace que el determinante

\begin{align*} \det\mathbf{J}=\left(\left(1-\mathbf{1}_{n-1}^{\intercal}\mathbf{p}\right)-\left(-t\mathbf{1}_{n-1}^{\intercal}\right)\left(t\mathbf{I}\right)^{-1}\mathbf{p}\right)\det\left(t\mathbf{I}\right)=t^{n-1}. \end{align*}

Ahora, utilizamos la fórmula de sustitución \begin{align*} & \int_{[0,\infty]^{n}}\prod_{i=1}^{n}\exp(-x_{i})x_{i}^{\alpha_{i}-1}\mathrm{d}\mathbf{x}\\ & =\int_{0}^{\infty}\left(\exp\left(-t\right)t^{\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\right)-n}\right)\int_{[0,1]^{n-1}}\prod_{i=1}^{n-1}p_{i}^{\alpha_{i}-1}\left(1-\sum_{j=1}^{n-1}p_{j}\right)^{\alpha_{n}-1}t^{n-1}\mathrm{d}\mathbf{p}~\mathrm{d}t\\ & =\int_{0}^{\infty}\left(\exp\left(-t\right)t^{\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\right)-1}\right)\mathrm{d}t\int_{[0,1]^{n-1}}\prod_{i=1}^{n-1}p_{i}^{\alpha_{i}-1}\left(1-\sum_{j=1}^{n-1}p_{j}\right)^{\alpha_{n}-1}\mathrm{d}\mathbf{p}\\ & =\Gamma\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\right)\int_{[0,1]^{n-1}}\prod_{i=1}^{n-1}p_{i}^{\alpha_{i}-1}\left(1-\sum_{j=1}^{n-1}p_{j}\right)^{\alpha_{n}-1}\mathrm{d}\mathbf{p} \end{align*} y, por tanto, tenemos

\begin{align*} \int_{[0,1]^{n-1}}\prod_{i=1}^{n-1}p_{i}^{\alpha_{i}-1}\left(1-\sum_{j=1}^{n-1}p_{j}\right)^{\alpha_{n}-1}\mathrm{d}\mathbf{p}=\frac{\prod_{i=1}^{n}\Gamma(\alpha_{i})}{\Gamma\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}\right)}. \end{align*}