Deje $S$ ser el conjunto de todas máxima de las cadenas en el poset $\langle$$\mathcal{P}$$($$\mathbb{N}$$),$$\subseteq$$\rangle$ dividido en clases de equivalencia por sus tipos de orden. ¿Cuántos tipos hay? Me puedes dar una idea de la estructura de $S$ cuando cuasi-ordenado por la incrustación de los tipos de órdenes? ¿Cuál es el supremum de ordinales que puede ser incrustado dentro de esta cuasi-orden?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
De alguna manera, nadie se atreve a responder a esta pregunta. (Edición: Thomas respuesta no aparece en mi equipo en el tiempo. Tenemos el mismo resultado. Estoy hablando de salta, habla de sucesores.)
Deje $L$ ser un orden lineal. Dos puntos de $x,y\in L$ formulario de un salto si $x<y$ y el intervalo abierto $(x,y)$ está vacía.
Deje $M\subset\mathcal P(\mathbb N)$ ser una máxima de cadena. A continuación, $M$ es un infinito completo orden lineal con extremos y en la mayoría de los countably muchos saltos.
Por el maximality de $M$, $\emptyset$ y $\mathbb N$ tiene que ser en $M$. Por lo tanto $M$ tiene extremos. Del mismo modo, si para todos vacío $S\subseteq M$, $\bigcup S\in M$. $\bigcup S$ es sólo el supremum de $S$$M$. Del mismo modo, cada subconjunto no vacío $S$ $M$ tiene un infimum en $M$, es decir, $\bigcap S$. De ello se desprende que $M$ es completa.
Ahora, si $x<y$ es un salto en $M$, entonces no es $n_{x,y}\in\mathbb N$ tal que $n_{x,y}\in y$$n_{x,y}\not\in x$.
Para dos diferentes saltar $x,y$ y $x',y'$, $n_{x',y'}\not=n_{x,y}$.
Dado que sólo hay countably muchos de los elementos de $\mathbb N$,
sólo hay countably muchos saltos.
Por último, ¿por qué es $M$ separables? Para cada una de las $n\in\mathbb N$ vamos
$a_n=\bigcup\{a\in M:n\not\in a\}$.
A continuación,$a_n\in M$.
Deje $a,b\in M$ ser tal que $a\subsetneq b$.
Para algunos $n\in\mathbb N$, $n\in b$ pero $n\not\in a$.
Ahora $a\subseteq a_n\subsetneq b$.
Esto demuestra que cada intervalo de la forma $[a,b)$ $a\subsetneq b$
tiene un elemento de la forma $a_n$.
Ahora si $a<b$$a,b\in M$, entonces cualquiera de las $a,b$ forma un salto en $M$ y el intervalo abierto $(a,b)$ está vacío o no es $c\in M$ tal que $a<c<b$.
En este caso no es $n$ tal que $a_n\in[c,b)\subseteq(a,b)$.
De ello se sigue que
$\{a_n:n\in\mathbb N\}$ es realmente denso en $M$.
Esta prueba indica otra estructura de $M$: Para $n\in\mathbb N$ deje $a^n=\bigcap\{a\in M:n\in M\}$. Claramente, $a_n<a^n$ $a_n,a^n$ forma un salto de $M$. Así que, por el argumento anterior, a la izquierda socios de saltos son densos en $M$.
De ello se sigue que no hay ningún máxima de cadena cuyo ordertype es que de $\mathbb R$! Usted tiene cadenas de ordertype $\mathbb R$, pero estos no son máximas. Del mismo modo, se han cadenas de cada separables ordertype con en la mayoría de los countably muchos saltos.
Si $L$ es un infinito completo orden lineal con countably muchos saltos y los saltos son densos en $L$, vamos a $(d_n)_{n\in\mathbb N}$ ser una enumeración de todos los a la izquierda socios de saltos en $L$. Ahora el mapa $$e:L\to\mathcal P(\mathbb N);x\mapsto\{n:d_n<x\}$$ es el fin de preservar, por lo $e[L]$ es una cadena. El primer elemento de $L$ obtiene asignada a $\emptyset$ y el último elemento de $L$ obtiene asignada a $\mathbb N$.
A ver que $e[L]$ es máxima, vamos a $a\subseteq\mathbb N$ ser tal que $e[L]$ es una cadena. Si $\{d_n:n\in a\}$ tiene un elemento más grande, es de la forma $d_n$ y, por tanto, la izquierda pareja de un salto con el socio adecuado $x$. Ahora $e(x)=a$.
Si $\{d_n:n\in a\}$ no tiene último elemento, a continuación, deje $x=\sup\{d_n:n\in a\}$. Ahora también se $e(x)=a$. Esto demuestra que $a\in e[L]$. Por lo tanto $e[L]$ es de hecho una máxima de cadena.
HappyEngineer
Puntos
111
En un orden lineal, $(L,<)$ nos dicen que $x\in L$ es un sucesor si existe una (necesariamente único) $y\in L$ tal que $y<x$$L$$\forall z\in L:z<x\implies z\leq y$.
Un orden lineal, $(L,<)$, puede ser representado por un máximo de cadena en $(P(\mathbb N),\subset)$ si y sólo si:
$(L,<)$ es completa, infinito, y ha máximas y mínimas de los elementos
El conjunto de sucesores en $(L,<)$ es contable y denso en $(L,<)$
Estas condiciones significan que un orden lineal está determinado por el orden en el conjunto de sucesores, y por lo tanto hay un $1-1$ correspondencia entre el $S$ y el isomorfismo clases de countably infinito lineal órdenes.
Dado un orden lineal $(\mathbb N,\prec)$, podemos definir una cadena como $$C=\{X\subset \mathbb N:\forall x,y: x\in X \land y\prec x \implies y\in X\}$$ de Que esta es una cadena que está claro. Que esta es la máxima sólo requiere un poco de trabajo.
Por otro lado, si $(L,<)$ satisface nuestra condición anterior, y $\phi:\mathbb N\to L$ $1-1$ mapa a los sucesores de $L$, entonces podemos definir el $(\mathbb N,\prec)$ $n\prec m$ si y sólo si $\phi(n)<\phi(m)$. A continuación, podemos ver que la cadena que nos llega de $$(\mathbb N,\prec)$ debe ser isomorfo a $(L,<)$.
Los elementos de $C$ de la forma: $$X_n = \{y:y\prec_{=} n\}$$ are successors of $$Y_n=\{y:y\prec n\}$$ and they are dense in the order of $C$, because if $\subconjunto b$ are elements of $C$ and $n\in b-a$, then $\subconjunto X_n \subseteq b$.
Un poco nerviosa mostrará que esto le da a todos la máxima de las cadenas.
En respuesta a tu pregunta en los comentarios acerca de la infinidad de los números ordinales.
Dado un ordinal, $m$, el conjunto de sucesores es siempre denso, pero, si el número ordinal infinito, el conjunto de sucesores tiene la misma cardinalidad como todo el ordinal, por lo $m$ debe ser contable.
Como Asaf, dijo en comentarios anteriores, el cuasi-orden en virtud de incrustaciones va a ser muy complicado. Incluso con mis sugerencias de restricción a la continua incrustaciones, yo todavía creo que esto es un lío.
Contrario a los comentarios de arriba, no se $C$ isomorfo a $\mathbb R$ o $[0,1]$, debido a que no hay sucesores en estos órdenes. Hay innumerables ejemplos, sin embargo, como el conjunto de Cantor. Lo más cercano que se puede llegar a los reales es el de reales con la adición de "sucesor racionales" - dos artículos por número racional, con el sucesor de los otros.
