Es una irreductible holomorphic simpléctica colector de una simple Mentira álgebra?

Question

La tangente paquete de un host de hyper-Kahler colector da una ecuación cuadrática de la Mentira de álgebra en la derivada de la categoría. Este puede ser considerado como una simple Mentira álgebra de acuerdo a Vogel definición?

Un punto de vista que surgió de un estudio de Rozansky-Witten invariantes es que la tangente paquete de holomorphic simpléctica colector o hyper-Kahler múltiple es una Mentira álgebra con un no-degenerada invariante bilineal simétrica forma. Aquí la tangente paquete es tomado como un objeto de la derivada de la categoría y, a continuación, cambió. El Atiyah clase se interpreta como una Mentira y soporte de la identidad de Bianchi como la identidad de Jacobi. La forma simpléctica es interpretado como una forma simétrica ya que hemos cambiado. Algunas referencias (y por favor, añada o solicitud de cualquier referencia que he omitido)

MR2024627 (2004m:57026) Roberts, Justin . Rozansky-Witten teoría. La topología y la geometría de los colectores (Athens, GA, 2001), 1--17, Proc. Sympos. Matemáticas Puras., 71, Amer. De matemáticas. Soc., Providence, RI, 2003.

MR2110899 (2005h:53070) Nieper-Wißkirchen, Marc . Chern números y Rozansky-Witten invariantes de compacto de hyper-Kähler los colectores. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004. xxii+150 pp. ISBN: 981-238-851-6

MR2472137 (2010d:14020) Markarian, Nikita . El Atiyah clase, Hochschild cohomology y la de Riemann-Roch teorema. J. Lond. De matemáticas. Soc. (2) 79 (2009), no. 1, 129--143.

Ahora Vogel ha construido un universal simple Mentira álgebra. La pregunta es si la tangente paquete de una irreductible holomorphic simpléctica colector cumple Vogel criterios para una simple Mentira álgebra. Esta pregunta es para algebraica de los geómetras, así que voy a ampliar sobre esto. La primera condición es que la Final(L)=End(I) donde I es la trivial representación de modo que(I) es la conmutativa anillo de escalares. En este ejemplo Ext(S). Esto, obviamente, no para el producto de dos colectores, así que tengo ingenuamente excluidos de este mediante la imposición de la irreductible condición. La segunda condición es que el $\mathrm{Hom}(\bigwedge^2L,L)$ es un Extremo libre(I)-módulo con base a la Mentira de soporte.

Una razón de esto puede resultar confuso es que el Final(I) ha nilpotent elementos mientras que yo estoy acostumbrado a un campo.

Si la respuesta a ambas preguntas es Sí, entonces tenemos un carácter de Vogel universal del anillo. Espero que esto sea de interés para ambas materias.

Editar El documento http://arxiv.org/abs/1205.3705 ahora se ha publicado en el arxiv y esto demuestra que $K3$-superficies no le dan un carácter de Vogel anillo.

Answer 1

Creo que esta es una pregunta muy interesante, que me han estado preguntando a mí misma por un tiempo bastante largo.

Sin embargo, me han dicho por el Prof. Beauville que incluso en la irreductible caso de que uno no tiene que $$ Ext_X(\mathcal O_X,\mathcal O_X)=Ext_X(T_X,T_X) $$

Es decir, considerar la posibilidad de $X$ siendo el esquema de Hilbert de dos puntos en un $K3$ de la superficie.

A continuación,$Ext_X(\mathcal O_X,\mathcal O_X)=\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}[-2]\oplus\mathbb{C}[-4]$.

Pero $Ext_X(T_X,T_X)=Ext_X(\mathcal O_X,(T^*_X)^{\otimes 2})$ contiene $Ext_X(\mathcal O_X,\Omega^2_X)$, que es enorme ($h^{2,2}=232$).

De todos modos, debo decir que esto no matar a la pregunta (este le dice simplemente tenemos que reformular). Espero poder escribir más sobre esto pronto.

EDIT: parece que la respuesta a la pregunta es NO. El punto es que 232 es también la dimensión de $H^1(X,S^3(T_X))$ ($X$ es de nuevo un $K3$), por lo tanto, $Ext_X^1(S^2(T_X),T_X)=RHom_X(\wedge^2(T_X[-1]),T_X[-1]))$ tiene dimensión $\geq232$.