Una regularidad de la propiedad de las matrices de transición para el gato mapa

Question

Me he dado cuenta de un extraño fenómeno (no es importante para mi investigación particular, pero muy interesante) y no se sorprenda si alguien más versado en la dinámica simbólica (es decir, cualquier persona que sabe lo que significan esas palabras juntas) podría explicar fácilmente.

Considerar el gato mapa de $A$ y la partición de Markov $\mathcal{R} =$ {$R_1,\dots,R_5$} se muestra a continuación: Los rectángulos de la partición están numeradas del 1 (el más oscuro) a 5 (el más claro).

Ahora para un determinado punto inicial $x$ con racional de coordenadas de modo que el período de $t(x)$ de la secuencia de $A^\ell x$ es finito) considere la matriz $T(x)$ entradas $T_{jk}(x)$ igual a la cardinalidad de {$\ell < t(x): A^\ell x \in R_j \land A^{\ell + 1}x \in R_k$}, es decir, el número de veces por período en que la trayectoria que va desde la $j$th rectángulo a la $k$th rectángulo. Claramente el patrón de dispersión de $T(x)$ es heredado de la matriz de definición de la correspondiente subshift de finito tipo.

Deje $L_q$ denota el conjunto de puntos racionales en $[0,1)^2$ con denominador $q$. Cuando me calcular la suma de $T_{(q)} := \sum_{x \in L_q} T(x)$ tengo algo sorprendente cerca-igualdades. Por ejemplo, con $q = 240$ I get

  301468           0      301310      186567           0
  186567           0      186407      114903           0
  301310           0      301251      186407           0
       0      301470           0           0      186407
       0      186407           0           0      115060

y al $q = 322$ I get

  262625           0      262624      162291           0
  162291           0      162312      100312           0
  262624           0      262632      162312           0
       0      262603           0           0      162312
       0      162312           0           0      100312

Las entradas de cada matriz se agruparon alrededor de 3 valores. Lo que es más, el estocástico matrices obtenidas mediante la adición de la unidad para cada entrada y, a continuación de la fila-la normalización de acuerdo a una parte en mil.

Hay una simple explicación para esto?

Answer 1

La razón por la que las matrices son iguales es que, hasta un factor multiplicativo, cada uno es de aproximadamente codificación de $Area(T(R_i) \cap R_j))$. Esto es debido a que los puntos racionales con denominador $q$ están cerca de ser distribuidos a través de la $R_i$ en proporción a sus áreas. (Creo que eres un recuento de estos puntos con multiplicidad igual a la del período, pero no creo que esto hace una diferencia.) En particular, observe que la relación de los tres valores que las entradas de cada matriz montón de todo es acerca de $\phi^2 : \phi : 1$ donde $\phi$ es la proporción áurea.