El papel de la topología de Zariski en la geometría algebraica

Question

Estoy teniendo problemas comprendiendo la relevancia de la topología de Zariski de ser una topología.

Cada vez que veo la prueba de que los conjuntos de la forma $V(I)=\{p\in\mathbb{A}^n\mid f(p)=0 \ \forall f\in I\}$ constituye una topología en el espacio afín $\mathbb{A}^n$, a mí me parece que la topología de los axiomas sólo ocurrió por accidente.

Cuando usted comienza a demostrar resultados acerca de esta topología, usted encontrará que es nada como la geometría intuitiva tipo de espacios uno se encuentra en el análisis geométrico de la topología o la geometría diferencial (abierto conjuntos siempre se cruzan!).

Por otro lado, se sienta a hablar acerca de la topología de Zariski, porque, por ejemplo, algebraicas morfismos entre afín variedades de pasar a ser continua. Pero yo no puedo sentir ninguna intuición de continuidad en este contexto.

¿Por qué es importante que la topología de Zariski ser en realidad una topología?

Answer 1

Con la topología de Zariski, genérico puntos de variedades (que fueron conocidos por algebraica de los geómetras antes de que el esquema de formalismo fue introducido) corresponden a real topológico genérico puntos, es decir, aquellos cuya Zariski de cierre es la totalidad del espacio. Desde el punto de topologizing de datos es la introducción de un adecuado concepto de "cercanía" a los datos, y los genéricos puntos "lógicamente, cerca de" cada otro punto, esta es una buena indicación de que el formalismo es útil.

Answer 2

Supongo que mi respuesta sería que en realidad no es que importante que la topología de Zariski es realmente una topología.

La topología es una muy buena axiomático marco para describir la noción de cercanía y continuidad que algunos matemáticos ocurrió en el comienzo del siglo pasado. Es bastante bueno, que se concede. Pero no es (aun cuando algunos han llegado a considerar a) la final de la formalización de estas nociones. Es simplemente para formular, muy fáciles de manipular, y contiene casi todos los ejemplos que se necesitaban en el momento en que se introdujo. Consigue el trabajo hecho en un elegante de la moda, y para que el crédito debe ser dada.

La topología de Zariski en el espectro de un anillo es, sin duda, una inteligente y con sentido para representar a la proximidad de los puntos en el lugar, una noción que debe existir dado que estamos haciendo geometría de aquí (o al menos que realmente queremos pensar que tenemos que hacer). Y es una suerte que claramente se pliega dentro de la dominante marco conceptual en la materia. Es realmente cómodo y creo que la gente en aquel entonces estaban muy contentos con ella.

Pero si no, bueno, no creo que hubiera sido el fin del mundo. Por ejemplo, cuando Grothendieck se dio cuenta de que debería haber una mejor noción de "cubrir" que capta más información, y que es básicamente inútil intentar definir como un clásico de la topología, él vino con étale de la topología y de la (esencialmente) más general de la noción de Grothendieck de la topología. Resultó ser una muy buena idea así.

Básicamente, lo que estoy tratando de decir es que son vagos conceptual de las razones que explican por qué no es de extrañar que la topología de Zariski es de hecho una topología, pero no creo que demasiada importancia y la profundidad debe ser dado a ese hecho.

Todavía, como un ejemplo de esas razones, la topología se define de esa manera porque la gente se sentía que era natural que cerrado/abierto conjuntos debe tener una cierta estructura de la red : como convencer a handwaving, un conjunto cerrado debe ser algo así como el conjunto de ceros de algunas funciones continuas, por lo que debe ser estable por la intersección, y el número limitado de los sindicatos. Ahora una idea básica de la geometría algebraica es que los ideales de un anillo puede ser pensado como conjuntos de ecuaciones, de modo que se cumpla esta especial estructura de la red por las mismas vagas razones generales. Ahora usted puede ver la construcción del espectro de un anillo como un caso especial de la Piedra de la dualidad : sólo depende de esta estructura de la red, el primer ideales surgen de forma natural a partir de esta estructura, aunque este es sin duda no se cómo históricamente se acercó. Por lo que la topología de Zariski es una topología debido a que la topología se define siguiendo el mismo tipo de intuición como la topología algebraica.

(En realidad, mi razonamiento es un poco anacrónico, probablemente en un montón de maneras porque yo no soy un especialista en matemáticas de la historia, pero al menos, ya que originalmente la topología fue formulado, no en términos de una estructura de celosía en abierto/cerrado conjuntos, pero en términos de la clausura del operador. Así que la idea era que la topología de que era una manera de hacer sentido de los puntos adherentes a un subconjunto de un espacio. Por supuesto, todo esto es equivalente.)