Resolución de la ecuación matricial $XA=AY$ con conocidos $X$ y $Y$

Question

Tengo problemas para resolver la multiplicación de matrices. Hay tres matrices $A,X$ y $Y$ todos son no singular $2\times 2$ matrices. Donde matriz $X$ y $Y$ son conocidos y $A$ es desconocido. $$ X = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{bmatrix} $$ $$ Y = \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12} \\ y_{21} & y_{22} \end{bmatrix} $$ $$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $$

y la multiplicación es la siguiente

$$ X\cdot A=A\cdot Y $$

Lo expandí y traté de resolverlo como tal sería capaz de obtener elementos de la matriz $A$ al final pero termina en una ecuación lineal homogénea que tiene solución trivial cero. Eso hace que todo el cálculo sin sentido.

$$ X\cdot A - A\cdot Y = 0 $$

¿Cuál es la mejor manera de calcularlo como tal puedo encontrar resultado de la matriz $A$ (en términos de elementos de matrices $X$ y $Y$ ) al final.

Answer 1

Al intentar darle mi complicada fórmula general a su pregunta, ocurrió algo curioso. Todos los términos cero hicieron que todo desapareciera. Esto tiene sentido como $\mathbf{0}$ es obviamente una solución. Para una solución distinta de cero, $X$ y $Y$ deben ser matrices similares $$XA=AY \Rightarrow A^{-1}XA = Y$$

A modo de referencia, y para ilustrar la sutil complejidad de la ecuación, he aquí la ecuación $2 \times 2$ forma general de la ecuación junto con la solución (usé mis propias variables ya que no quería traducir lo que tengo, y los ceros son los términos que mencioné): \begin{array}{rcl} \pmatrix{e & f \\ g & h}\pmatrix{q & r \\ s & t}=\pmatrix{q & r \\ s & t}\pmatrix{a & b \\ c & d} \\ \Rightarrow \pmatrix{q & r \\ s & t} &= & \pmatrix{\hat{q}\over {\Delta} & \hat{r}\over {\Delta} \\ \hat{s}\over {\Delta} & \hat{t}\over {\Delta}} \\ \end{array}

con

$$\Delta = a^2\left(d^2 -de -dh + eh -fg \right) + a\left(-2bcd + bce + bch -d^2e -d^2h + de^2 + 2deh + dh^2 -e^2h + efg -eh^2 + fgh \right) + bc\left( bc + de + dh -e^2 -2fg -h^2 \right) + d\left(deh -dfg -e^2h + efg -eh^2 + fgh \right) + e^2h^2 -2efgh + f^2g^2 $$ $$\hat{q} = 0 $$ $$\hat{r} = 0 $$ $$\hat{s} = 0 $$ $$\hat{t} = 0 $$

La fórmula para $\Delta$ aquí hay una prueba para valores propios iguales - es cero si $X=\pmatrix{e & f \\ g & h}$ y $Y=\pmatrix{a & b \\ c & d}$ compartir al menos un valor propio (no necesariamente todos los valores propios).

Por lo tanto, si $\Delta$ es distinto de cero, no hay solución a tu ecuación.

tl;dr: Si intentas resolver la ecuación mirando los términos individuales y obteniendo ecuaciones simultáneas, estarás reinventando una rueda llamada el Producto de Kronecker . Es la herramienta que quieres aprender para esta ecuación.

Answer 2

Véase Teoría de matrices, capítulo VIII.

Answer 3

Lo amplié y traté de resolverlo como su elementos de la matriz A al final pero termina en una ecuación lineal homogénea lineal homogénea con solución trivial cero. Eso hace que todos los cálculos sin sentido.

¿Por qué? Es una solución válida, aunque trivial.

Para investigar si existen soluciones no triviales, vemos que $X AA Y=0$ es un caso particular (homogéneo) de la Ecuaciones de Silvestre . En el enlace se explica que la ecuación se puede reescribir como una ecuación lineal (en nuestro caso homogénea) con una ecuación matricial de tamaño $n^2 \times n^2 $ ( $4 \times 4$ ), que tendrá soluciones no triviales si sus singulares -lo que equivale a que las matrices X e Y tengan al menos un valor propio común. Nuestra solución, en forma vectorial, es el espacio nulo completo de esa matriz.

Un ejemplo en Octave/Matlab

>>> X=[1,2;0,3]  % triangular, eigenvalues: 1 , 3
X=
   1   2
   0   3
>>>  Z=[5,6,7,8]; % arbitrary
>>>    Y=Z*[3,5;0,4]*inv(Z)  % eigenvalues : 3, 4
Y =
   111.500   -77.500
   150.500  -104.500
>>>  D=kron(eye(2),X)-kron(Y',eye(2))  % kronecker products
D =
  -110.50000     2.00000  -150.50000     0.00000
     0.00000  -108.50000     0.00000  -150.50000
    77.50000     0.00000   105.50000     2.00000
     0.00000    77.50000     0.00000   107.50000
>>> a=null(D)   % D is singular, it has in this case a dim-1 null space
a =
   0.57359
   0.57359
  -0.41352
  -0.41352
>>> A=[x(1),x(3);x(2),x(4)];
A =
   0.57359  -0.41352
   0.57359  -0.41352
>>> X*A-A*Y  %  zero, save for rounding errors
ans =
  5.1958e-014  -2.4425e-014
  -2.1094e-014  1.9318e-014

Por supuesto, $\alpha A$ también es solución