¿Cuándo crear una función trascendental para resolver un "problema irresoluble"?

Question

$\int \frac{1}{x} dx$ es un problema irresoluble utilizando las leyes estándar del Cálculo (regla de la potencia) sin el uso de la función $f(x) = \ln x$ que fue elaborado por los matemáticos para resolver este tipo de problemas. Si nos remontamos aún más, la función $f(x) = \sin x$ era también una función trascendental utilizada para describir la relación cambiante entre el arco y la cuerda de un círculo - no fue hasta 1682 que Leibniz demostró que $\sin x$ no es expresable como función algebraica. Hoy en día, todavía tenemos expresiones que no pueden ser evaluadas con precisión como $\int x^x dx$ porque realmente no puede expresarse como una función utilizando el conjunto de herramientas estándar de funciones algebraicas y trascendentales que tenemos actualmente. Esto nos lleva a preguntarnos cuándo es apropiado que los matemáticos inventen nuevas funciones trascendentales como soluciones a "problemas irresolubles", incluyendo, pero sin limitarse, a la expresión integral presentada anteriormente.

Answer 1

Hay ligeros problemas de calendario en su argumento.

Por ejemplo, los logaritmos de John Napier aparecieron en 1614, John Speidell compiló una tabla sobre el logaritmo natural en 1619, y Nicholas Mercator lo llamó por primera vez logaritmo natural en 1668, todo ello antes de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz publicaran trabajos sobre el cálculo integral.

Asimismo, las funciones trigonométricas aparecen en las matemáticas griegas, indias e islámicas, todas ellas anteriores al cálculo.

En cuanto a tu pregunta, eres libre de definir una "nueva función" como la solución a una pregunta concreta, al menos si tal pregunta está bien definida y tienes claro lo que haces. Que alguien más adopte la definición puede depender de su utilidad.

Answer 2

No es tanto que los hayamos "creado", sino que simplemente les hemos dado un nombre, y eso también simplemente para facilitarnos la vida.

Creo que en el núcleo de cada función nombrada, hay un matemático que necesita usar esa función intensamente, y como, por ejemplo, la representación integral es un poco larga y bastante difícil de manejar notacionalmente, definen una nueva función.

Si el nombre se mantiene o no se determina simplemente por la influencia de su investigación, en la que nombraron la función. Si es un resultado potente, la gente lo leerá, y entonces tiene muchas posibilidades de que su nombre se quede. Si no, entonces probablemente será un nombre sólo para su función.

En otras palabras:
Nombra la función cuando te convenga (y/o al lector). El círculo de matemáticos, y el futuro, decidirán entonces por ti si el nombre que le has dado es digno de la función