Considerar la irreductible cúbicos ecuación de $x^3 - x - 1 = 0$ y supongamos que una de las raíces de las $x$. Los otros dos se $a,b$ tal que $x + a + b = 0$$xab = 1$. A continuación, $a$ $b$ satisfacer una ecuación cuadrática
$$ z^2 + xz + \frac{1}{x} = z^2 + xz + (x^2 - 1) =0 $$
que es reducible en $\mathbb{Q}(x)$. El uso de la fórmula cuadrática se puede escribir las raíces explícitamente en términos de $x$:
$$ a,b = \frac{-x \pm \sqrt{x^2 - 4(x^2 - 1)}}{2}$$
Desde este polinomio tiene coeficiente inicial $1$ (es monic) el discriminante de esta ecuación cuadrática $d = 4 - 3x^2 $ debe ser un cuadrado perfecto en el anillo de enteros $\mathbb{Z}[x]$.
¿Cuál es la raíz cuadrada? $\sqrt{d}$
En Wikipedia, la solución a $x^3 - x - 1$ se llama el plástico número. De hecho, se ha explícita fórmula:
$$ x = \frac{\sqrt[3]{108 + 12\sqrt{69}}+ \sqrt[3]{108 - 12\sqrt{69}}}{6}$$
De hecho, he escrito un número de pisot, pero esta pregunta podría ser reformado para cualquier entero cúbicos en $\mathbb{Z}[x]$.
EDITAR La respuesta a continuación incidate no he escrito una Galois de la extensión.
La pregunta podría tener más sentido si pido la $\sqrt{4 - 3x^2}$ $\mathbb{Q}(x, \sqrt{-23})$ anillo de los enteros, que creo que es $\mathbb{Z}[x, \frac{1 + \sqrt{-23}}{2}]$.
