Supongamos que tengo una cadena de complejos de cadenas de $C_n$. A continuación, se puede obtener la homología de grupos de este complejo. Ahora si puedo elegir cualquier grupo abelian $G$, y creo que la cochain grupo $C_n^*=Hom(C_n,G)$ entonces puede obtener la cohomology grupos. Ahora la pregunta es: Si hago el cocohomology grupo por considerar $C_n^{**}=Hom(Hom(C_n,G),G)$ y la definición de la cocoboundary en los mapas de las formas obvias, voy a obtener la Homología de grupos de nuevo?
Respuestas
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No en general.
Supongamos que todos los de la $C_n = \oplus_{i = 0}^{\infty} \mathbb{k}$, con diferenciales $0$, y deje $G = \mathbb{k}$. A continuación,$Hom(C_n, \mathbb{k}) = \Pi_{i = 0}^{\infty} \mathbb{k}$. Tomando el $\mathbb{k}$ dual de nuevo da algo que contenga como un subespacio $\Pi_{i = 0}^{\infty} \mathbb{k}$, con cero, ya que los diferenciales. El cohomology grupos son diferentes, como $(\Pi_{i = 0}^{\infty} \mathbb{k})^* \not = \oplus_{i = 0}^{\infty} \mathbb{k}$
Si usted tiene torsión en la cadena de los grupos: por ejemplo, $\mathbb{Z}/2$ como componente de algunos de algunos de los $C_n$, estos datos desaparecerá cuando usted haga doble doble. (Usted puede inventar un ejemplo de nuevo con cero diferenciales.)
Supongo que una situación en la que se puede decir que sean la misma es cuando se trabaja en la categoría de finito dimensionales espacios vectoriales.
En el más común de la topología algebraica situación (por ejemplo celulares de homología), a continuación, $C_*$ es un almacén de complejo de finitely libres generados por $R$ módulos, donde $R$ es un PID. En este caso se puede decir algo por aplicaciones repetidas de la universal de los coeficientes teorema computacional y los hechos acerca de exts - la fórmula recibirás por ${}_iH$ (la i-ésima cocohomology) serán algunos de los desordenado combinación directa de cantidades y composiciones de las Exts y Homs, la participación de los grupos de $H^{i}, H^{i-1}, H_i, H_{i-2}$: https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_coefficient_theorem
(Tal vez alguien con más sofisticación que me puede interpretar esto en términos de la composición de la izquierda derivados de functors de $Hom(\_,G)$?)
Tal vez usted puede jugar con eso para conseguir algunas condiciones bajo las cuales el cocohomology está de acuerdo.
John Hughes
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Si $G = \mathbb R$ (o cualquier campo), y $C$ es el simplical cadena complejo asociado a una countably infinito espacio discreto (por ejemplo, los enteros), a continuación, $H_0 = Z_0$ será una infinita suma directa de copias de los reales, sino $Z^0$ será el espacio dual de eso, y el doble doble de no ser isomorfo a la original (debido a la inifinite dimensiones), por lo tanto creo que el $0$th co-cohomology no será el mismo que el $0$th homología.
