Será útil comenzar con una explicación del origen y la prueba de la Ramanujan identidad. Estos están ocultos (no muy profundo) en la teoría de funciones elípticas.
De hecho, Jacobi elíptica función de $\operatorname{dn}(z,k)$ tiene series de Fourier
$$\operatorname{dn}(z,k)=\frac{\pi}{2K}\left[1+2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi\frac{z}{K}}{\cosh n \pi \frac{K'}{K}}\right],$$
donde $K(k)$ denota completa de la integral elíptica y $K'(k)=K(\sqrt{1-k^2})$ la complementaria. El Ramanujan Cos/Cosh identidad es, pues, equivalente a mostrar que la
$$\operatorname{dn}^{-2}\left(\frac{K_1}{\pi}\theta,k_1\right)+\operatorname{dn}^{-2}\left(\frac{iK_1}{\pi}\theta,k_1\right)=\frac{8\Gamma^4\left(\frac34\right)K_1^2}{\pi^3},\tag{1}$$
donde $k_1=\frac{1}{\sqrt2}$ es la primera integral elíptica de valor singular y $K_1:=K(k_1)=K'(k_1)$.
El lado derecho de (1) es independiente de la $\theta$ y es fácilmente demostrado ser igual a $2$ utilizando, por ejemplo, la fórmula (3) de la misma página. Por lo tanto, queda por demostrar que para cualquier $\sigma\in\mathbb{C}$ uno tiene
$$\operatorname{dn}^{-2}\left(\sigma,k_1\right)+\operatorname{dn}^{-2}\left(i\sigma,k_1\right)=2.$$
Os dejo este último punto como un ejercicio (sugerencia: use Jacobi del imaginario de transformación).
Esperemos que ahora es claro que uno puede construir muchas generalizaciones de Ramanujan identidad. Tales construcciones implicaría dos ingredientes básicos:
De hecho, elija su favorito identidad satisfecho por la elíptica en funciones. El primer ingrediente va a transformar en trigonométrica de la serie. El segundo te permite reemplazar la elíptica en el módulo por números algebraicos y el correspondiente medio de periodos por misteriously-en busca de combinaciones de funciones gamma de argumentos racionales.
P. S. La primera pregunta que se acaba de expansión de Taylor en $\theta$ (por ejemplo, establecer $\theta=0$ en el Ramanujan identidad y a ver qué pasa).
