Grupo fundamental cerrado $3$ -y sus subgrupos.

Question

Sea $M$ sea una $3$ -con $\pi_2(M) = 0$ .

1. ¿Puede el grupo fundamental de $M$ contienen un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}^4$ ?
2. Si el grupo fundamental de $M$ contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}^3$ ¿ese subgrupo debe ser de índice finito?

Answer 1

Obsérvese que para satisfacer esas condiciones, la cobertura universal $N$ de $M$ tiene que ser no compacta. Ahora $\pi_2(N)=\pi_2(M)=0$ . Así que por dualidad de Poincaré para espacios no compactos $H_k(N)=0$ para todos $k$ y por tanto el teorema de Hurewich implica $N$ es contraíble. Así que $M$ es un $K(G,1)$ espacio. Ahora cualquier cubierta de esto es también del mismo tipo. Así que $\mathbb Z^4$ no puede ser su cubierta ya que si es una cubierta entonces tiene que ser homotópicamente equivalente a una 4 variedad cerrada $S^1\times S^1\times S^1\times S^1$ lo que no es posible ya que su 4º grupo homológico es trivial. Y si $ \mathbb Z^3$ no es un subgrupo de índice finito, entonces $M$ tiene una cubierta de colector no compacto 3 con $\mathbb Z^3$ grupo fundamental. Pero entonces es homotópicamente equivalente a $S^1\times S^1\times S^1$ lo que no es posible, ya que su 3ª homología es cero.

EDITAR: También se puede ver que el único grupo abeliano libre $\mathbb Z^n$ que pueden ocurrir como $\pi_1(M)$ es $\mathbb Z^3$ el grupo fundamental de $3-torus$ ya que $n-torus$ es un $K(\mathbb Z^n,1)$ y esto tiene $H_n$ distinto de cero y $H_i$ cero para $i>n$ .