Cómo encontrar la suma de los dos últimos dígitos de $(x^{2})^{2013} + \frac{1}{(x^{2})^{2013}}$$x + \frac{1}{x} = 3$?

Question

Sea x un número real, de modo que $x + \frac{1}{x} = 3$. Cómo encontrar la suma de los dos últimos dígitos de $(x^{2})^{2013} + \frac{1}{(x^{2})^{2013}}$?

Answer 1

No he resuelto aún, pero mi enfoque es, hasta ahora, a lo largo de las líneas de:

$$\begin{align} x+\frac{1}{x}&=3\\ \therefore \left(x+\frac{1}{x}\right)^2&=3^2\\ \therefore x^2+\frac{1}{x^2}+2&=9\implies x^2+\frac{1}{x^2}=7 \end{align}$$ Ahora hacemos uso de este resultado y observe el siguiente patrón: $$\begin{align} x^2+\frac{1}{x^2}&=7\\ x^4+\frac{1}{x^4}&=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2&&=7\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-2\\ x^6+\frac{1}{x^6}&=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)&&=7\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\\ x^8+\frac{1}{x^8}&=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)&&=7\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right)-\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)\\ &\cdots\\ x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}&=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^{2(n-1)}+\frac{1}{x^{2(n-1)}}\right)-\left(x^{2(n-2)}+\frac{1}{x^{2(n-2)}}\right)&&=7\left(x^{2(n-1)}+\frac{1}{x^{2(n-1)}}\right)-\left(x^{2(n-2)}+\frac{1}{x^{2(n-2)}}\right)\\ \end{align}$$ Si ahora nos vamos a:$$a_n=x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}$$then this can be written as the following recurrence relation:$$a_n=7a_{n-1}-a_{n-2}$$which can be solved to yield:$$a_n=x^{2n}+\frac{1}{x^{2n}}=\left(\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\right)^{n}, n=0,1,2,3,\cdots$$ Ahora tenemos que calcular la suma de los dos últimos dígitos para $n=2013$

Answer 2

Recordemos que una recurrencia lineal de la secuencia (con coeficientes constantes) es una secuencia $U = \{u_n\}_{n=0}^{\infty}$ con los términos de $\Bbb{C}$ tal que $$ u_n = c_1 u_{n-1} + \dotsc + c_m u_{n-m} \quad \text{para todo } n \geq m \etiqueta{1} \label{eq:1} $$ donde $c_1,\dotsc,c_m$ son complejos constantes con $c_m \neq 0$. Los números de $u_0,\dotsc,u_{m-1}$ son llamados los valores iniciales de $U$.

Ahora, mientras que $U$ puede satisfacer las diversas relaciones de tipo $\eqref{eq:1}$, se puede demostrar que existe una relación única de longitud mínima $k$, la orden de $U$. El polinomio $$ f_U(X) = X^k - c_1 X^{k-1} - \dotsc - c_k $$ es el compañero polinomio de $U$, y su estudio nos lleva a un resultado muy interesante:

Teorema: Vamos a $\lambda_1,\dotsc,\lambda_h$ ser distinta (complejo) las raíces de $f_U$, con multiplicidades $e_1,\dotsc,e_h$ respectivamente. Entonces existen polinomios $g_1,\dotsc,g_h \in \Bbb{C}[X]$ $\deg g_i \leq e_i$ tal que $$ u_n = g_1(n) \lambda_1^n + \dotsc + g_h(n) \lambda_h^n \quad \text{para todo } h \geq 0. \etiqueta{2} \label{eq:2} $$ Por el contrario, cada secuencia de satisfacciones $\eqref{eq:2}$ es una recurrencia lineal de la secuencia.

Prueba: Cfr. Teorema 9.10 de estas notas.

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¿Por qué menciono esto? Bueno... desde $x + \frac{1}{x} = 3$, sabemos que $x$ es una raíz del polinomio $X^2 - 3X + 1$, lo $x$ es $$ \lambda_1 := \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{o} \quad \lambda_2 := \frac{3 - \sqrt{5}}{2}. $$ Curiosamente, estas son las inversas de cada una de las otras, así $$ x^n + \frac{1}{x^n} = \lambda_1^n + \lambda_2^n =: u_n. $$ Por lo tanto $\{u_n\}_{n=0}^\infty$ es el lineal de la recurrencia de la secuencia definida por la relación $$ u_n = 3 u_{n-1} - u_{n-2} $$ con los datos iniciales $u_0 = \lambda_1^0 + \lambda_2^0 = 2$$u_1 = \lambda_1 + \lambda_2 = 3$.

Esto conduce a un simple algoritmo recursivo para calcular (exactamente) los dos últimos dígitos de cualquier $u_n$, y haciendo este modulo $100$ es muy rápido, incluso para las grandes $n$. He aquí un modo tan ingenuo para calcular $u_{2 \cdot 2013} \pmod{100}$ en Mathematica:

rec[n_Integer] := LinearRecurrence[{3, -1}, {3, 7}, {n, n}] // First;
Mod[rec[2*2013], 100]
(* 22 *)

También, si usted no confía en lo que escribí anteriormente, usted puede probar fácilmente que esta recurrencia de hecho da los números que queremos:

AllTrue[Range[100], rec[#] == N[((3 - Sqrt[5])/2)^# + ((3 + Sqrt[5])/2)^#] &]
(* True *)

Answer 3

La plaza de la ecuación para obtener: $$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2 - 2$$ Y de nuevo: $$x^4+\frac{1}{x^4}=(3^2 - 2)^2-2$$ Así: $$x^{2^n}+\frac{1}{x^{2^n}}=(\ldots((3^2 - 2)^2-2)^2 -2)\ldots)^2 -2$$

Definir: $$a_{n+1} = a_n^2 - 2$$ Ahora vamos a $a_n = 100 b_n + y_n$. Así que:$$a_{n+1} = 100^2 +200 b_n y_n+ y_n^2 - 2$$ $$y_{n+1} = y_n^2 - 2\mod 100$$ Empezar con $y_1=7$. $y_2 = 47$ y $y_3 = 107 \equiv 7$.

Editar:

Esto funciona para nosotros llegar a una respuesta si tuviéramos $2048$ en lugar de $2013$. Trabajando en una alternativa de solución.