¿Cómo se podía llegar a las fórmulas de la divergencia y curl?

Question

Ha sido algunos años desde que me he tomado cálculo multivariable ahora, pero hay algo que realmente nunca entendí: ¿cómo la gente iba a descubrir las expresiones de la divergencia y la curvatura. Quiero decir, los libros suelen decir que las fórmulas y, a continuación, mostrar que con la que es posible ver la divergencia como una medida de la cantidad de un campo vectorial se bifurca a nivel local y curl analógico para la rotación a nivel local.

Ahora, no está claro que si tienes que elegir aquellas expresiones que se le dará a esta interpretación. Los libros suelen decir: "tomamos las fórmulas debido a que el trabajo" y bien, yo lo sé. Lo que quiero saber es: imaginar queremos encontrar dos operadores de $\operatorname{div}$ $\operatorname{curl}$ sobre el vector de campos, que $\operatorname{div}$ da locales divergencia y $\operatorname{curl}$ da rotación local, como podemos deducir de las definiciones que iba a funcionar?

Estoy cuestionando esto porque actualmente estoy estudiando formas diferenciales en los colectores, y para apreciar la definición de exterior derivado pensé que sería bueno para ir hacia atrás y ver donde las definiciones de la divergencia y la curvatura de donde provienen.

En base, a continuación, en el exterior de derivados, he encontrado que si $v\in \mathfrak{X}(\mathbb{R}^3)$ es un campo de vectores y consideramos que la habitual coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^3$

$$\nabla \times v = \sum_{i=1}^3 \nabla v^i \times \dfrac{\partial}{\partial x^i} \qquad \nabla\cdot v = \sum_{i=1}^3 \nabla v^i \cdot \dfrac{\partial}{\partial x^i}$$

Entonces empecé a tratar de ver si estas fórmulas eran más fáciles de encontrar, pero no pude conseguir anythin de ella.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta completa se da en las páginas 22-27 de mi 2011 cálculo vectorial notas. Creo que muchos de los buenos cálculo de texto incluyen estos argumentos heurísticos, los he encontrado en Tomás de cálculo de un par de ediciones atrás. Larga historia corta, lo que realmente debe hacer entender es demostrar Greene y Stokes Teoremas, esto le dará una visión más profunda de la naturaleza de su pregunta. Permítanme resumir el método aquí:

1. El flujo de $\langle P,Q \rangle$ a través de un pequeño rectángulo con esquinas $(x,y), (x+\triangle x,y), (x,y+\triangle y), (x+\triangle x,y+\triangle y)$ es fácilmente calculado multiplicando los componentes de $\langle P,Q \rangle$, con una anchura ($\triangle x$) y la altura ($\triangle y$) con los valores de los componentes en las esquinas. Luego se divide por el área de $\triangle x \triangle y$ del rectángulo y pasar a los límites de $\triangle x,\triangle y \rightarrow 0$ obtiene las derivadas parciales que reconocemos como la divergencia de $\langle P,Q \rangle$. De ello se desprende que, $\nabla \cdot \langle P,Q \rangle$ mide el flujo de densidad de área del campo de vectores $\langle P,Q \rangle$. La extensión a tres variables incluidas en mis notas donde puedo discutir un esbozo de la prueba de Gauss Teorema.

1. El curl es visto de hacer un argumento similar para calcular la circulación de $\langle P,Q \rangle$ alrededor de un pequeño rectángulo con esquinas $(x,y), (x+\triangle x,y), (x,y+\triangle y), (x+\triangle x,y+\triangle y)$. Para encontrar la circulación de $(x,y)$ $(x+\triangle x,y)$multiplicamos $P(x,y) \triangle x$ como el camino es horizontal, por lo que sólo el $x$-componente de líneas con el segmento de contribuir con algunas de circulación. Si usted toma en cuenta las instrucciones de cada segmento y se divide por el área de $\triangle x \triangle y$ del rectángulo y, a continuación, pasar al límite de $\triangle x,\triangle y \rightarrow 0$ e las $z$-componente de la curvatura aparece. De ello se desprende que, $\nabla \times \langle P,Q,0 \rangle$ mide el área de la circulación de la densidad del campo de vectores $\langle P,Q,R \rangle$ $z$- dirección. Ampliar a tres componentes del vector de campo tenemos un vector de describir las posibles circulaciones lo largo de un espacio de la curva en las tres direcciones.

Todo esto dicho, yo preferiría dar a los menos útiles respuesta que $d$ es el exterior natural derivado de la operación en el exterior álgebra de $\mathbb{R}^3$, y es justamente el caso de que: 1. $df = \omega_{\nabla f}$, 2. $d\omega_{\vec{F}} = \Phi_{\nabla \times \vec{F}}$ y 3. $d \Phi_{\vec{G}} = \nabla \cdot G dx \wedge dy \wedge dz$

donde$\omega_{\langle a,b,c \rangle} = adx+bdy+cdz$$\Phi_{\langle a,b,c \rangle} = ady \wedge dz+bdz \wedge dz+cdx \wedge dy$. Por lo tanto, el gradiente, la curvatura y la divergencia son sólo diferentes niveles de la cohomological operador que en última instancia, revela la más profunda de la forma del espacio.

Answer 2

No estoy seguro de si este es el tipo de cosa que usted está buscando, y es sólo una respuesta parcial. Yo no sé acerca de $\operatorname{curl}$, pero para $\operatorname{div}$ yo siempre he pensado que esto de las expectativas de lo que estamos buscando. En un sentido físico, parece lógico que, dado un dominio de $\Omega$ a estudio, se puede saber cuántas cosas (puede ser agua, aceite, aire, etc.) es que entran y salen del dominio en algún momento en el tiempo. Si llamamos a esta cantidad la divergencia no es difícil ver que este es el flujo neto (suma de pointwise velocidades) a través de la frontera de $\Omega$ (voy a llamar al límite de $\Gamma$). Por lo tanto lo que yo estoy llamando a la divergencia será la integral de la componente normal de la frontera veces el vector de velocidad de la sustancia de la que estoy interesado. I. e. para $\mathbf{v}$ algún vector en $d$-dimensiones de la función de espacio de $V^{d}$ este debería ser escrita como

$$\int_{\Gamma} \mathbf{v}\cdot \nu\ \text{d}s,$$

donde $\nu$ es exterior que enfrenta normal en $\Gamma$.

Usando integración por partes (no quiero decir que el teorema de la divergencia aquí) podemos ver que la integral de la componente normal sobre el límite es igual a la 'divergencia' integrado en el interior del dominio.

$$\int_{\Gamma} \mathbf{v}\cdot \nu\ \text{d} = \int_{\Omega} \frac{\partial}{\partial x_{1}}\mathbf{v}\ \text{d}\mathbf{x} + \int_{\Omega} \frac{\partial}{\partial x_{2}}\mathbf{v}\ \text{d}\mathbf{x} + \ldots + \int_{\Omega} \frac{\partial}{\partial x_{d}}\mathbf{v}\ \text{d}\mathbf{x} \\ = \int_{\Omega}\nabla\cdot\mathbf{v}\ \text{d}\mathbf{x} \hspace{12em}$$

El término 'divergencia' es sólo un nombre que se da al operador $\nabla\cdot$, que fue encontrado para tener la propiedad deseada. Dado integración por partes que esto cae en su lugar para mí.