¿De Regresión de Cox han subyacente a la distribución de Poisson?

Question

Nuestro pequeño equipo estaba teniendo una discusión y se quedó atascado. ¿Alguien sabe si regresión de Cox ha subyacente a la distribución de Poisson. Tuvimos un debate que tal vez de regresión de Cox con constante de tiempo en situación de riesgo tienen similitudes con regresión de Poisson con varianza robusta. Alguna idea?

Answer 1

Sí, hay un vínculo entre estos dos modelos de regresión. Aquí está una ilustración:

Supongamos que la línea de base de peligro es constante en el tiempo: $h_{0}(t) = \lambda$. En ese caso, la supervivencia de la función es

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

y la función de densidad es

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Este es el pdf de una exponencial de la variable aleatoria con la expectativa de $\lambda^{-1}$.

Dicha configuración se obtiene el siguiente paramétrica del modelo de Cox (con evidentes notaciones):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

En la paramétrica de ajuste de los parámetros se estiman mediante el clásico método de probabilidad. La log-verosimilitud está dada por

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

donde $d_{i}$ es el indicador de evento.

Hasta una constante aditiva, esto no es sino la misma expresión que la log-verosimilitud de la $d_{i}$es visto como realizaciones de una variable de Poisson con una media de $\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$.

Como consecuencia, se pueden obtener estimaciones utilizando el siguiente modelo de Poisson:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

donde $\beta_0 = \log(\lambda)$.