La multiplicidad de valores propios

Question

Supongamos $A$ $n\times n$ matriz compleja. Cómo mostrar las dos propiedades siguientes

1. Si $\lambda$ es un autovalor de a $A\bar{A}$, por lo que es $\bar{\lambda}$. Aquí $\bar{A}$ significa que la entrywise conjugado de $A$.

2. La multiplicidad algebraica de autovalores negativos (si los hubiera) a $A\bar{A}$ son incluso.

Answer 1

1. Se sabe que el polinomio característico de a $A\overline A$ es igual al polinomio característico de a $\overline AA$. Entonces $$ {\det(\overline AA-\lambda I)}=\det(A\overline A-\lambda I) $$ pero para números reales $\lambda$ el conjugado de la LHS es igual a la RHS, por lo tanto el polinomio característico de a $A\overline A$ tiene coeficientes reales.

2. Una idea sería probar que el polinomio característico de a $A\overline A$ toma valores positivos para $\lambda \geq 0$. Entonces, si existe una negativa autovalor $\mu&lt0$ con multiplicidad impar, (podemos considerar $\mu$ a a ser el mejor autovalor), a continuación, para $\lambda\in (-\mu-\varepsilon,-\mu) \cap [0,\infty)$ (para algunos $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño) el polinomio podría tomar valores negativos y tenemos una contradicción. Queda por demostrar que $$ \det(A\overline A-\lambda I)\geq 0,\ \forall \lambda \geq 0 $$ Una forma de hacerlo es demostrar que todos los coeficientes del polinomio característico son positivos.

Answer 2

he aquí una prueba:

(edición, borrado mi desarrollo para el 1er trimestre de que estaba equivocado, que mi mal!, gracias a Henning Makholm)

• Si no me equivoco, usted puede demostrar que el determinante es positivo (porque creo que se puede mostrar algo como $\det(A\overline{A})=\det(A)det(\overline A)=\overline{\det A}^2$) lo que implica que el producto de autovalor positivo. El producto de $\lambda$ $\overline{\lambda}$ es obviamente positivo si $\rm{Im}\lambda\neq 0$, pero si usted tiene un $\lambda\in\mathbb R$$\lambda&lt0$, entonces debe haber otro$\lambda'\in\mathbb R$$\lambda'&lt0$. Esto implica que hay un número real negativo autovalores.

(edición, como Beni mencionado, esto muestra que el total de número de la real negativo autovalores es incluso (el producto es positivo), lo cual podría no responder a la pregunta)

Answer 3

Me di cuenta de la propiedad 2, contenido en el Teorema 1 en Djokovic, En Algunas Representaciones de Matrices, Lineal y Multilineal Álgebra, 1976, Vol. 4, pp 33-40.