Delimitación mayores momentos de truncado normal

Question

Estoy buscando una buena límite superior de la integral

\begin{equation*} \int_y^\infty x^k \exp(-(x-\mu)^2/2) dx \end{ecuación*}

para (posiblemente grande) entero positivo $k.$ Esto es equivalente a encontrar más momentos de una distribución normal truncada. Un enlace que funcione para no enteros, $k$ así sería aún mejor.

Por supuesto, "conveniente", está en el ojo del espectador, pero me gustaría algún tipo de bastante simple expresión de que puedo usar en los cálculos posteriores. Por ejemplo, un límite superior de la forma $f(x) \exp( -g(x))$ donde $f$ $g$ son de bajo grado de los polinomios sería genial. Estoy más interesado en la simplicidad de la forma que en la obtención de la más ajustada posible obligado.

Answer 1

Asumo $y \gt 0$$y \gg \mu$. Si reemplaza $x^k$ $y^k \exp {\left( (k/y)x - k \right) }$ va a sobreestimar la $x^k$ plazo (porque esta es la exponencial de los dos primeros términos de la serie de MacLaurin de $\log(x^k)$ expandido alrededor de $x=y$, la serie es alterna, y el resto término es negativo). Completando el cuadrado de los rendimientos de una forma cerrada de la fórmula para un límite superior, uno de cuyos factores es una Gaussiana integral:

$$\sqrt{2\pi }y^k \exp \left( {\frac{k (k+2 y (-y+\mu ))}{2 y^2}} \right) \Phi \left(\frac{k}{y}-y+\mu \right)$$

Esto funciona muy bien cuando se $k$ es grande en comparación a $y$ $\mu$ porque entonces la mayoría de la masa de la integral se concentra en su límite inferior, donde la exponencial de la cota superior de a $x^k$ es una buena aproximación. Para evitar exponencial de desbordamiento, el uso de los logaritmos para calcular el producto.

Answer 2

Deje $I_k=\int_y^\infty x^k\mathrm{exp}(-(x-\mu)^2/2)dx$$a_k=y^{k}\mathrm{exp}(-(y-\mu)^2/2)$.

Integración por partes da $I_k=a_{k-1}+(k-1)I_{k-2}$.

Por lo tanto, incluso para $n$, \begin{multline} I_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-3}+(n-1)(n-3)a_{n-5}+\cdots\newline+(n-1)(n-3)\cdots 1 a_1+(n-1)(n-3)\cdots 1 I_0. \end{multline}

No dude en ampliar esta respuesta y deducir una estimación de las anteriores.