Cómo demostrar la siguiente identidad $$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left(\frac{120k^2 + 151k + 47}{512k^4 + 1024k^3 + 712k^2 + 194k + 15}\right) = \pi$$ Estoy totalmente desorientado en este. ¿Me podrías ayudar, por favor? Cualquier ayuda se agradece. Gracias de antemano.
Respuestas
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Este es el ahora famoso Bailey–Borwein–Plouffe fórmula, ver
http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey%E2%80%93Borwein%E2%80%93Plouffe_formula,
jwarzech
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Aquí está un resumen de la prueba dada por Bailey, Borwein, Borwein, y Plouffe en la Búsqueda de La Pi en sólo unas pocas líneas de la integración.
Para empezar que tenga en cuenta las siguientes integrales definidas como sumatorias, $n=1,\ldots,7$:
$$ \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{x^{n-1}}{1-x^8} dx = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sum_{k=0}^\infty x^{n-1+8k} dx = \frac{1}{2^{n/2}} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k(8k+n)} $$
Si la fracción de factor de la suma en la Pregunta se expande por medio de fracciones parciales:
$$ \frac{120k^2 + 151k + 47}{512 k^4 + 1024 kb^3 + 712k^2 + 194k + 15} = \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8+6} $$
entonces las integrales anteriores pueden ser aplicadas a dar:
$$ \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k+1} - \frac{2}{8k+4} - \frac{1}{8k+5} - \frac{1}{8+6} \right) $$
$$ = \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{4\sqrt{2} -8x^3 -4\sqrt{2}x^4 -8x^5}{1-x^8} dx $$
En este punto, los autores afirman que una sustitución de $y= x \sqrt{2}$, con lo que:
$$ \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{4\sqrt{2} -8x^3 -4\sqrt{2}x^4 -8x^5}{1-x^8} dx = \int_0^1 \frac{16y-16}{y^4-2y^3+4y-4} dy $$
Finalmente, la última integral puede ser ampliado por medio de fracciones parciales para dar:
$$ \int_0^1 \frac{4y}{y^2-2} dy - \int_0^1 \frac{4y-8}{y^2-2y+2} dy = \pi $$
A manera de explicación, los autores señalan que esta rigurosa prueba fue buscado sólo después del descubrimiento de la aparente entero de las relaciones entre las sumatorias y $\pi$ a través de la PSLQ algoritmo.
