La intuición sobre el primer teorema de isomorfismo

Question

Actualmente, estoy estudiando teoría de grupos y recientemente he leído sobre el primer teorema de isomorfismo que puede ser enunciada de la siguiente manera:

Deje $G$ $H$ grupos y $\varphi :G\to H$ un homomorphism, a continuación, $\ker \varphi$ es un subgrupo normal de $G$, $\varphi(G)$ es un subgrupo de $H$$G/\ker \varphi \simeq \varphi(G)$.

La prueba es muy fácil, pero he estado pensando acerca de lo que es la mejor manera de entender este resultado. En ese entorno me he venido arriba con la siguiente intuición:

Es fácil ver que un homomorphism $\varphi : G\to H$ es inyectiva si y sólo si $\ker \varphi = \{e\}$ donde $e$ es la identidad de $G$.

Ahora, mi intuición sobre el primer teorema de isomorfismo es: si $\varphi : G\to H$ es un homomorphism que no es inyectiva, entonces podemos construir un nuevo grupo en el que el equivalente homomorphism de hecho es inyectiva. Hacemos esto por quotienting qué es lo que está en el camino de hacer $\varphi$ inyectiva, es decir, todo lo que está en el núcleo.

En esa forma de tomar el cociente $G/\ker \varphi$ creamos un grupo en el que nos "matan" todo lo que está en el núcleo de $\varphi$. El natual proyección de $\varphi$ a este cociente será entonces una función inyectiva.

Así es esta la mejor manera de entender el primer teorema de isomorfismo? Es una manera de "sacar del camino" todo lo que está parando un homomorphism de ser un inyectiva mapa? Si no, ¿cuál es la correcta intuición acerca de este teorema y su importancia?

Answer 1

Entiendo que el Teorema de la misma manera como usted. La idea con una gran cantidad de estos Teoremas de Álgebra, donde nos factor algebraica de la estructura a través de un cociente, es quitar algunos indeseables parte de la estructura.

En este caso, queremos conseguir un isomorfismo de un surjective homomorphism, que es mucho "mejor" del mapa. Así, nos cociente por el kernel, y como resultado tenemos un mapa donde sólo el cero es el elemento enviado a cero, lo que mantiene surjectivity.

Este tipo de Teorema reaparece con frecuencia, y la suya es la correcta intuición.

Answer 2

La fibra punto de vista es la que más me gusta, porque capta la idea de que cuando el cociente fuera $ker\phi $, se identifican a través de $\sim $ todos los puntos que $\phi $ envía a $0$.

Para ampliar esto un poco, supongamos que tomamos un espacio topológico $X$, un espacio de $Y$ e una $f:X\to Y$, y topologize $Y$ al declarar que las $V$ abierto en $Y$ $\Leftrightarrow f^{-1}(V)$ abierta en $X.$

Ahora, dada cualquier $\sim $ en $X$, $q:X\to X/\sim $ induce una topología en $X/\sim $ anterior y a partir de esto se obtiene el siguiente resultado:

si $g:X\to Z$ es continua, entonces existe un único $\ \overline g:X/\sim \to Z$ tal que $\overline g\circ q=g$

y así tenemos una topológico analógica del Primer Teorema de Isomorfismo.