$F_{5}=2^{2^{5}}+1 $ no es primo

Question

En 1637 Fermat afirmó que $F_{5}=2^{2^{5}}+1=4294967297 $ es primo. Por el contrario Euler demostró que:

$F_{5}=(2^{16})^2+1^{2}=62264^{2}+20499^2$ .

Gracias a Fermat sé que $F_{5}$ mod $4 $ es $1$ . ¿Me ayuda esto un poco?

Answer 1

Euler hizo este impresionante cálculo :

Tenemos $641 = 1 + 5 \times 2^7$ . Por lo tanto $5 \times 2^7 \equiv -1 \; [641]$ . Elevando al cuadrado dos veces esta congruencia, obtenemos : $5^4 \times 2^{28} \equiv 1 \; [641]$ . Sin embargo, también tenemos $5^4 + 2^4= 641$ . Por lo tanto, $ - 2^4 \times 2^{28} \equiv 1 \; [641]$ lo que arroja $ 1 + 2^{32} \equiv 0 \; [641]$ . Y como $32 = 2^5$ , has terminado de demostrar que $F_5$ no es primo. Larga vida a los cálculos de Euler...

Answer 2

Sí, por supuesto el hecho de $$F_5=\left(2^{16}\right)^2+1^2=62264^2+20449^2$$

Ayuda mucho, sólo hay que considerar el siguiente Teorema:

Si un primo puede expresarse como la suma de dos cuadrados, entonces la representación es única.

Entonces en tu problema tienes dos representaciones diferentes, entonces $F_5$ no es un número primo.

Puedes ver una demostración de este teorema en el enlace del comentario.