Si $f'(x) = 0$ para todos $x \in \mathbb{Q}$ es $f$ ¿Constante?

Question

Sea $f$ sea una función diferenciable en $\mathbb{R}$ tal que

$$f'(x)=0,\forall x\in \mathbb Q.$$

Demostrar o refutar que

$$f(x)=c$$

para alguna constante $c$ . He oído que este problema es cierto, pero no estoy seguro. ¿Puede demostrarlo o dar un contraejemplo?

Pregunta auxiliar: Me pregunto lo contrario, si $f=0$ para todos los irracionales, ¿podemos decir que $f$ ¿es constante?

Answer 1

[Utilizo una construcción dada por Rooij y Schikhof en Segundo curso de funciones reales Ejemplo 13.2.]

Sea $\Omega$ sea el conjunto de todas las funciones continuas $\omega : \mathbb{R} \to (0, + \infty)$ con la siguiente propiedad: para todo $a<b \in \mathbb{R}$ , $$ \left| \frac{1}{b-a} \int_a^b \omega(x) dx \right| \leq 4 \omega(a).$$

Sea $\alpha_1,\beta_1,\alpha_2,\beta_2,\dots$ sean números reales distintos por pares. A continuación, los autores muestran que se puede construir $\omega_1,\omega_2, \dots \in \Omega$ tal que para cada $n \in \mathbb{N}$ tenemos, escribiendo $f_n:= \omega_1+ \cdots + \omega_n$ :

$$f_n \leq \left( \frac{n}{n+1} \right)^2, \ \ f_n(\alpha_i) \geq \left( \frac{n-1}{n} \right)^2, \ \ f_n(\beta_i) < \frac{n}{n+1} \cdot \frac{i}{i+1}.$$

Después, demuestran que $\displaystyle F(x):= \sum\limits_{i \geq 1} \int_0^x \omega_i(t)dt$ está bien definida y es diferenciable con $F'(x)= \sum\limits_{i \geq 1} \omega_i(x)$ . En particular, porque $F'(x)= \lim\limits_{n \geq + \infty} f_n(x)$ tenemos $$F'(\alpha_i)=1, \ \ F'(\beta_i) \leq \frac{i}{i+1}.$$

Sea $f$ denota la función dada por la construcción anterior con $\{\alpha_1,\alpha_2,\dots \}= \mathbb{Q}$ y $\{\beta_1= \sqrt{2}, \beta_2, \dots \}$ . Sea $g$ denota la función dada por la construcción anterior con $\{A_1= \sqrt{2},A_2, \dots\}= \mathbb{Q} \cup \{\sqrt{2} \}$ y $\{B_1, B_2, \dots\}$ .

Sea $G:=f-g$ . Entonces $G'(q)=0$ para todos $q \in \mathbb{Q}$ y $G'(\sqrt{2}) \leq \frac{1}{2}-1=- \frac{1}{2} <0$ . En particular, a partir del teorema del valor medio, deducimos que $G$ no es constante ya que su derivada no desaparece en todas partes.

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Para su segunda pregunta, es una consecuencia de Teorema de Darboux que una función es constante si su derivada desaparece en $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ .

En efecto, $f'(\mathbb{R})$ tiene que ser un intervalo $I$ pero $f'(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q})= \{0\}$ Así que $I$ es de hecho contable: necesariamente, $I$ es el singleton $\{0\}$ es decir $f'$ desaparecen por todas partes. Ahora, se puede deducir que $f$ es constante a partir del teorema del valor medio.

Answer 2

Es falso, puedes encontrar una respuesta aquí . (francés)

La función propuesta $$ g(x)= \inf\{d(x,E_k)^{1/k}: k\in \mathbb{N}\} $$ donde $E_k$ es el conjunto discreto cerrado $\{p/2^k : p\in \mathbb{Z}\}$