Estoy buscando la solución a $x$ de
$$x^n+nx-n=0.$$
Pensamientos: a partir De la graficación por varios $n$ parece que siempre hay una solución en el intervalo de $[\tfrac{1}{2},1)$. Para $n=1$, la solución es la fracción de $\tfrac{1}{2}$, y para mayor $n$, la solución se desplaza a la derecha.
Vi entonces que la ecuación de lee $$F_n(x)=x$$ con
$$F:[0,1]\to[0,1],\ \ \ \ \ \ F_n(x):=1-\frac{x^n}{n}.$$
Creo que tengo todas las condiciones para hacer de la iteración de $F_n$'s de la general soluton para la ecuación. Yo calculadas $$x_5=F_5(F_5(F_5(F_5(F_5(F_5(F_5(F_5(x_S)))))))),$$
con valor inicial $x_S=\tfrac{1}{2}$ y parece ser la solución de la ecuación de $n=5$.
Relacionados con enlaces a wikipedia: teorema de punto Fijo, fijo de Banach-teorema de punto, de punto Fijo iteración;
Me pregunto:
He encontrado la soluton y se puede evaluar la iteración de una forma cerrada?
Podría ser que implica polylogs. edit: Al menos Wolfram Alpha afirma conocer $$n(x)=W\left(\frac{-\log(x)}{x-1}\right)/\log(x),$$ even if $n(x)$ no es demasiado interesante.
En mi caso, ¿cómo es la relación entre la función de $x(n)$ y (creo que) el punto fijo combinador para la iteración?
Qué importa lo que yo elija para $x_S$ aquí? Se puede relacionar el valor y el número necesario de iteración para un buen acuerdo con el valor real?
(También, hay resultados, que son ecuaciones polinómicas esta técnica funciona? La propiedad $F:[0,1]\to[0,1]$ parecía accidental a mí.)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Usted puede obtener una buena aproximación de la solución en $n \to \infty$ suponiendo que $x$ puede ser escrito como un asintótica de la serie en potencias de $1/n$, dicen
$$ x \sim 1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{n^k}, $$
luego sustituyendo esto en la ecuación dada y el cálculo de los coeficientes de forma recursiva. Por ejemplo, podemos calcular el $a_1$ $a_2$ por escrito
$$ \begin{align*} 0 &\approx \left(1 + \frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2}\right)^n + n\left(1+\frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2}\right) - n \\ &= \left(1 + \frac{a_1}{n} + \frac{a_2}{n^2}\right)^n + a_1 + \frac{a_2}{n} \\ &= a_1 + e^{a_1} + \frac{2a_2 (1+e^{a_1}) - a_1^2 e^{a_1}}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \end{align*} $$
Mediante el envío de $n \to \infty$ tenemos que $a_1 + e^{a_1} = 0$, por lo que
$$ a_1 = -W(1), $$
donde $W$ es la función W de Lambert.
A continuación, ajuste el coeficiente de $1/n$ $0$y sustituyendo el anterior valor de $a_1$ nos encontramos con que
$$ a_2 = \frac{W(1)^3}{2(1+W(1))}. $$
Así tenemos
$$ x \aprox 1 - W(1) n^{-1} + \frac{W(1)^3}{2(1+W(1))} n^{-2}. $$
Esta aproximación parece ser bastante buena. A continuación es un gráfico que compara el número de raíces con la fórmula asintótica para $1 \leq n \leq 10$.
Esta serie podría en realidad convergen lo suficientemente grande como $n$ pero no veo la manera de demostrarlo. Si el teorema de la función implícita podría ser empleada a continuación, habría que establecer.
¿Esto no es simplemente el resultado del Teorema del punto fijo de Banach? En ti caso uno debe demostrar que existe $q$ tal que: $$d(F_n(x),F_n(y))=\frac{|y^n-x^n|}{n} \le q |x-y|$ $ lo cual es cierto para todas las $n>1, x>0$, con decir, $q=0.9$, por lo que no importa qué $x_S$ eliges.
Con respecto a una forma cerrada - convergencia de una serie de iterativa no dice nada acerca de la existencia de una solución de forma cerrada.
