Ecuación $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}\dfrac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k-1)!}=n^2$

Question

Creo que esta igualdad es muy inter probarlo:

$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-k-1}\dfrac{(n+k)!}{(k!)^2(n-k-1)!}=n^2$

Answer 1

Es útil reescribir la suma en términos de coeficientes binomiales como sigue:

$$\begin{align} & \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n-k-1} (n-k) \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} \\ = & (-1)^{n-1} n \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \binom{n-1}{k} \binom{n+k}{n} \end{align}$$

En Matemáticas concretas , p. 170, veo la siguiente identidad:

$$\sum_k (-1)^k \binom{\ell-1}{m+k} \binom{s+k}{n} = (-1)^{\ell-1+m} \binom{s-m}{n-\ell+1} $$

Utilice los valores $s=n$ , $\ell=n$ y $m=0$ :

$$ \sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \binom{n-1}{k} \binom{n+k}{n} = (-1)^{n-1} \binom{n}{n-1} = (-1)^{n-1} n $$

Por lo tanto, sólo tenemos que probar esa identidad de CM.