¿Básicamente, existen los sistemas (completo de axiomas) que no implican la existencia de un infinito? ¿Es posible construir un sistema matemático sin infinito?
Respuestas
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Matthew Scouten
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De primer orden de la teoría de (un montón de cosas, existe un primer orden de teoría de la), si es completa (estoy asumiendo que significa completa en el sentido de la lógica matemática) y no tiene un predicado "es infinita". Real de campos cerrados, por ejemplo.
Solo para aclarar: cualquier modelo de la teoría de la real campos cerrados es infinito, y para cualquier entero positivo $n$ hay un teorema que dice que el campo de $F$ tiene al menos $n$ elementos distintos, pero la declaración de "$F$ es infinita" no es parte de la teoría.
user4894
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Si usted toma los axiomas de ZFC y reemplazar el Axioma del Infinito con su negación, se obtiene la hereditariamente finitos conjuntos. Este es un conjunto consistente de la teoría en la que usted puede modelar cada uno de 0, 1, 2, 3, 4, ... Pero no hay ningún conjunto que contiene a todos ellos.
De hecho, es precisamente el Axioma del Infinito (en el estándar de matemáticas) que nos permite formulario completado el conjunto de los números naturales. Sin una especial axioma, que no puede hacerlo.
La razón por la mayoría de los matemáticos aceptar el Axioma de Infinitud es por conveniencia. Es difícil hacer matemáticas sin necesidad de conjuntos infinitos.
La cuestión de si el Axioma de Infinitud es verdadera o falsa en algún sentido Platónico es una cuestión de filosofía. De hecho, el Axioma de Infinitud es exactamente lo que nos da un infinito real en el sentido de Aristóteles.
En matemáticas estamos libres de tomar axiomas para la conveniencia. Ya que es mucho más fácil (y más divertido) para hacer matemáticas con conjuntos infinitos, esa es la elección que han hecho.
