Primaria de la prueba de $m^n\neq n^m$ para casi todos los números naturales $m\neq n$

Question

$2^4=16=4^2$. De hecho, $\{2,4\}$ es el único par de números naturales con que propiedad, es decir, si $m<n$ son números naturales y $m^n=n^m$, entonces $m=2$ y $n=4$.

Esto puede verse fácilmente con algún tipo de análisis: Por $m,n\in\mathbf{N}\barra invertida\{0\}$, la ecuación $m^n=n^m$ es equivalente a $\sqrt[m]{m}=\sqrt[n]{n}$. Por cálculo, se puede demostrar que la función real $t\mapsto \sqrt[n]{t}$ es estrictamente creciente para $t<e$ y estrictamente decreciente para $t>e$. Por lo que el menor de los dos números tiene que ser de $<e$ e la proposición de la siguiente manera.

Mi pregunta: ¿hay una escuela primaria de la prueba? Por la primaria me refiero a la mayoría de todos no hay números irracionales, no cálculo.

Answer 1

La relación $m^n=n^m$ implica $n,m$ tienen los mismos factores primos de $p_1<p_2<...<p_k$. Supongamos que $m=\prod p_i^{\alpha_i},\ n=\prod p_i^{\beta_i}$. Por el único teorema de factorización y la relación $m^n=n^m$ tenemos que $\alpha_i n=\beta_i m$. Supongamos que $m>n$. Esto implica que $\alpha_i>\beta_i$ desde $\alpha_i/\beta_i=m/n$. Por lo tanto $n|m$.

Denotar $m=dn$ y $(dn)^n=n^{(dn)}$ es decir $dn=n^d$ o $d=n^{d-1}$. Para $n \geq 2$ tenemos $n^{d-1}\geq d$, con igualdad de $d=1$ (lo cual no es bueno ya que $m>n$) o $d=2,n=2$ y por tanto $m=4$.

Answer 2

SUGERENCIA de $\ $ wlog $\rm\displaystyle\ m > n\ \Rightarrow\ \bigg(\frac{m}n\bigg)^n =\: n^{m n}\in \mathbb Z\ \Rightarrow\ k := \frac{m}n \in\mathbb Z\ \Rightarrow\ k = n^{k-1}\ \Rightarrow\:\cdots$

NOTA $\ $ por Encima de lo que implícitamente han invocado la Raíz Racional de la Prueba para inferir que para $\rm\:j\in \mathbb Z,\ n: n\in \mathbb N\:,\:$ racionales de las raíces de $\rm\ x^n -j\ $ deben ser números enteros. $\:$ Arriba es el caso especial de $\rm\ x = m/n,\ j = n^{m n}\:.$

Answer 3

Echa un vistazo aquí (en particular de "prueba esto: Sustituto").

Answer 4

Hay una bonita imagen: dado cualquier número real $a,b > 1,$ relación $$ a^b = b^a $$ es equivalente a $$ \frac{\log a}{a} = \frac{\log b}{b}.$$ Así que lo que hago es dibujar la gráfica $ $ $ y = \log x $$ y, a continuación, dibujar cualquier línea que pasa por el origen con pendiente positiva (pero menor que $1/e$). La línea interseca la curva en dos puntos, con $x$valores $a,b$ satisfacer $ a^b = b^a.$ El menor de los dos números $a,b$ se encuentra entre $1$ y $e,$ por lo que la única posible entero es de $2.$ En ese caso, los otros $x$-valor es de $4.$