¿Cómo probar $\sum_{i=1}^k(\frac{1}{\alpha_i}\prod_{j\neq i}^k\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_i})=\sum_{i=1}^k\frac{1}{\alpha_i}$?

Question

¿Cómo probar $\sum_{i=1}^k(\frac{1}{\alpha_i}\prod_{j\neq i}^k\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_i})=\sum_{i=1}^k\frac{1}{\alpha_i}$? Donde $\alpha_1, \alpha_2,\ldots, \alpha_k$ son números positivos distintos de la $k$.

Answer 1

Permítanme hacer esto con métodos reales solamente.

Deje $\displaystyle P(X)=\sum_{i=1}^k \frac{1}{\alpha_i}\prod_{j\neq i}^k \frac{\alpha_j-X}{\alpha_j-\alpha_i}$ ser el de la interpolación de Lagrange polinomio para $x\to\frac{1}{x}$ en puntos $\alpha_i$.

A continuación, $\displaystyle P(0)=\sum_{i=1}^k(\frac{1}{\alpha_i}\prod_{j\neq i}^k\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_i})$

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Permítanos reescribir $P(0)$ en otra forma.

Deje $Q(X)=XP(X)-1$.

$Q$ tiene el grado $k$ e ha $k$ distintas raíces: $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$.

Denotando $Q$'s coeficiente inicial como $\lambda$, $Q(X)=\lambda\prod_{j=1}^k (X-\alpha_j)$

El truco: considere el $\displaystyle \frac{Q'(X)}{Q(X)}=\sum_{j=1}^k\frac{1}{X-\alpha_j}$

Por lo tanto $\displaystyle \frac{Q'(0)}{Q(0)}=-\sum_{j=1}^k\frac{1}{\alpha_j}$

Pero, por la propia definición de $Q$, $Q'(0)=P(0)$ y $Q(0)=-1$.

Por lo tanto $\displaystyle P(O)=\sum_{j=1}^k\frac{1}{\alpha_j}$

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Por lo tanto, $$\sum_{i=1}^k(\frac{1}{\alpha_i}\prod_{j\neq i}^k\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_i})=\sum_{i=1}^k\frac{1}{\alpha_i}$$

Answer 2

Comparar mi respuesta a esta pregunta.

La igualdad es la verdad para todos distintos de cero de los números complejos $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$, y puede ser demostrado de la siguiente manera. Ya que voy a estar usando números complejos no quiero usar $i$ como una variable, así que estoy cambiando un poco su notación. Escribir $$f(z)=\frac{1}{z^2}\prod_{j=1}^k \frac{\alpha_j}{\alpha_j-z}$$ y considerar $$\lim_{R\to\infty}\int_{|z|=R} f(z)\,dz\ .$$ En primer lugar, mediante la estimación de $|f(z)|$ sobre el contorno, el límite será igual a cero. En segundo lugar, evaluamos la integral de los residuos. El residuo de a $z=\alpha_m$ es $$\frac{1}{\alpha_m^2}(-\alpha_m)\prod_{j\ne m}\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_m}=-\frac{1}{\alpha_m}\prod_{j\ne m}\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_m}\ .$$ El integrando tiene una doble polo a $z=0$ y evaluamos el residuo de ahí el uso de la generalizada derivada de una fórmula de producto $$\frac{d}{dz}(u_1u_2u_3\cdots)=(u_1u_2u_3\cdots)\Bigl(\frac{u_1'}{u_1}+\frac{u_2'}{u_2}+\frac{u_3'}{u_3}+\cdots\Bigr)\ .$$ El residuo es $$\eqalign{ \lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\Bigl(\prod_{j=1}^k \frac{\alpha_j}{\alpha_j-z}\Bigr) &=\lim_{z\to0}\Bigl(\prod_{j=1}^k \frac{\alpha_j}{\alpha_j-z}\Bigr) \sum_{j=1}^k\frac{1}{\alpha_j-z} =\sum_{j=1}^k\frac{1}{\alpha_j}\ . \cr}$$ Así que mientras a $R$ es mayor que el máximo de todos los $|\alpha_j|$, la integral tiene el valor constante $$2\pi i\Bigl(\sum_{j=1}^k\frac{1}{\alpha_j}-\sum_{m=1}^k\frac{1}{\alpha_m}\prod_{j\ne m}\frac{\alpha_j}{\alpha_j-\alpha_m}\Bigr)\ ;$$ este debe ser cero, y el resultado de la siguiente manera.