Base de tiempo y edad de los cálculos del universo

Question

Yo trate de calcular la edad del universo con el modelo FLRW: $$ H(a) = H_0 \sqrt{\Omega_{\mathrm{R},0} \left(\frac{a_0}{a}\right)^4 + \Omega_{\mathrm{M},0} \left(\frac{a_0}{a}\right)^3 + (1-\Omega_{\mathrm{T},0}) \left(\frac{a_0}{a}\right)^2 + \Omega_{\Lambda,0}}. $$

Me puse a $\Omega_{\mathrm{M},0} = 0.317$ (densidad de la materia) y $\Omega_{\Lambda,0} = 0.683$ (energía oscura), pronunciado por Planck de 2013; $\Omega_{\mathrm{T},0} = 1.02$ (curvatura del espacio), de acuerdo a este sitio; y $\Omega_{\mathrm{R},0} = 4.8\times10^{-5}$ (radiación de la densidad), de acuerdo a este documento.

Por el momento, $t(a)$ me tome el factor de escala $a$ y se divide través de la integración de velocidad recesional $$ t(a) = \frac{a}{\int_0^a{H(a')a'\ \mathrm{d}a'}/(a-0)} $$ y, finalmente, simplificar a $$ t(a) = \frac{a^2}{\int_0^a{H(a')a'\ \mathrm{d}a'}}. $$

Pero el problema es, entonces empiezo acerca de $8\times10^9$ años para la edad del universo, pero debe ser alrededor de $12\times10^9$ años (que me pongo cuando me establezca $\Omega_{\mathrm{R},0}$ a cero):

$\Omega_{\mathrm{R},0} = 4.8\times10^{-5}$:

$\Omega_{\mathrm{R},0} = 0 \to 0.00001$:

¿Tengo que usar algunos otros modelos de FLRW/ΛCDM, o es uno de mis parámetros obsoletos?

Answer 1

La densidad de energía total es, por definición, $$ \Omega_{T,0} = \Omega_{R,0} + \Omega_{M,0} + \Omega_{\Lambda,0},$$ así que con los valores que se citan ($\Omega_{R,0}=4.8\times 10^{-5}$, $\Omega_{M,0}=0.317$, $\Omega_{\Lambda,0}=0.683$), llegamos $\Omega_{T,0} = 1$, o en una más comunes de la notación $\Omega_{K,0}=1-\Omega_{T,0}=0$, es decir, un espacio con curvatura cero.

También es común para definir el valor actual de la escala, el factor de $a_0=1$, por lo que $$ H(a) = H_0\sqrt{\Omega_{R,0}^{-4} + \Omega_{M,0}^{-3} + \Omega_{K,0}^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}. $$

La edad del universo puede, a continuación, se calcula de la siguiente manera: a partir de $$ \frac{\text{d}} {\text{d}t} = \dot{un}, $$ tenemos $$ \begin{align} \text{d}t &= \frac{\text{d}a}{\dot{a}} = \frac{\text{d}a}{aH(a)} = \frac{a\,\text{d}a}{a^2H(a)}\\ &= \frac{1}{H_0}\frac{a\,\text{d}a}{a^2\sqrt{\Omega_{R,0}a^{-4} + \Omega_{M,0}a^{-3} + \Omega_{K,0}a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}}}\\ &= \frac{1}{H_0}\frac{a\,\text{d}a}{\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0}a + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}a^4}}. \end{align} $$ La integración de los rendimientos de la diferencia entre el momento en que se emite una señal y el tiempo que se observó: $$ t_{\text{ob}} - t_{\text{em}} = \frac{1}{H_0}\int_{a_{\text{em}}}^{a_{\text{ob}}} \frac{a\,\text{d}} {\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0} + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}^4}}, $$ y la edad del universo es de $$t_0 = \frac{1}{H_0}\int_0^1 \frac{a\,\text{d}} {\sqrt{\Omega_{R,0} + \Omega_{M,0} + \Omega_{K,0}a^2 + \Omega_{\Lambda,0}^4}}.$$ Esto debe darle la edad correcta.