porcentaje de números a partir de $2$ $\{2^n\}$

Question

Yo una vez escuché a un profesor decir (en un curso de teoría de Fourier) que hay una manera de determinar los números que comiencen con un $2$ en la secuencia de $\{2^n\colon n\in\mathbb{N}\}$. Le pregunté acerca de ello, pero no podía recordar cómo. Las pruebas que confirmen la teoría de la equidistributed secuencias de la Weyl criterio.

¿Hay alguien que sabe cómo demostrarlo? O es que hay una buena referencia (preferiblemente un libro)?

Answer 1

$2^n$ comienza con un $2$
$\iff 2^n /10^k \in [2;3)$ $k \in \Bbb N$
$\iff n\log 2- k \log 10 \in [log 2; \log 3)$ $k \in \Bbb N$
$\iff \left\{n\frac{\log 2}{\log 10}\right\} \in \left[\frac{\log 2}{\log 10}; \frac{\log 3}{\log 10}\right)$, $\{x\} \in [0;1)$ Dónde está la parte fraccional de $x$.

$\frac{\log 2}{\log 10}$ Es irracional, la secuencia $\left\{n\frac{\log 2}{\log 10}\right\}$ es equidistributed en $[0;1)$, y así cae en $\left[\frac{\log 2}{\log 10}; \frac{\log 3}{\log 10}\right)$con "probabilidad" de $\frac{\log 3 - \log 2}{\log 10}$.