Resuelva $x^3=y^2-y+1$ en números enteros positivos.

Question

Hace poco empecé con la teoría de números y he terminado con todo lo básico, intermedio y algo de lo avanzado con facilidad. Sin embargo, me encontré con esta pregunta y he estado atascado durante un día con esto

Resolver en enteros positivos

$$x^3=y^2-y+1$$

He probado aritmética modular y factorización pero nada parece funcionar hasta ahora. Sólo he sido capaz de reducirlo a una Ecuación Diofantina equivalente es decir,

$$4x^3=y^2+3$$

Además, aún no estoy familiarizado con la teoría algebraica, analítica o geométrica de los números, por lo que preferiría una solución elemental.

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Esto se supone que es un comentario pero es un poco largo.

La ecuación $y^2 - y + 1 = x^3$ puede reescribirse como

$$Y^2 = X^3 - 48\quad\text{ where }\quad\begin{cases} Y &= 8y - 4\\ X &= 4x\end{cases}$$ Si se lanza el siguiente comando a Calculadora de Magma en línea

Q<x> := PolynomialRing(Rationals());
E00  := EllipticCurve(x^3-48);
Q00  := IntegralPoints(E00);
Q00;

Magma sólo encuentra dos pares de soluciones integrales $(X,Y) = (4,\pm 4)$ y $(28,\pm 148)$ . Esto corresponde a las soluciones $(x,y) = (1,0 \verb/ or / 1 )$ y $(7, 19 \verb/ or / -\!\!18)$ Parece que éstas son las únicas soluciones integrales de la ecuación original.