El espectro primo de un dominio Dedekind

Question

Dejemos que $A$ sea un dominio Dedekind, sea $X = \operatorname{Spec}(A)$ . ¿Son todos los conjuntos abiertos en $X$ ¿conjuntos abiertos básicos? Pensando en la topología de Zariski (en el sentido clásico) de una curva afín no sinular, si tuviera que adivinar, diría que "sí", pero no se me ocurre ninguna prueba o contraejemplo. Hasta ahora sólo he podido demostrar que el resultado es cierto para las EPI.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Saludos

Answer 1

Reclamación: Todo subconjunto abierto de $X$ es un conjunto abierto básico si y sólo si $\text{Cl}(A)$ el grupo de clase ideal de $A$ es la torsión. (En particular, esto es cierto siempre que $A$ es el anillo de enteros de un campo numérico, pues entonces $\text{Cl}(A)$ es finito).

La cuestión se reduce a saber si, para cualquier conjunto finito de primos $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$ Hay un $f\in A$ tal que $\mathfrak{p}_1, \dots, \mathfrak{p}_n$ son exactamente los primos de $A$ que contiene $f$ .

Por lo tanto, supongamos que $\text{Cl}(A)$ es la torsión. Consideremos el ideal $I=\mathfrak{p}_1 \cdots \mathfrak{p}_n$ . Esto tiene un orden finito en el grupo de clases, por lo que hay un número entero $m$ tal que $(g)=\mathfrak{p}_1^m \cdots \mathfrak{p}_n^m$ es principal. Entonces $f=g$ hace el truco.

A la inversa, si hay un elemento de orden infinito en $\text{Cl}(A)$ entonces debe existir un elemento que esté representado por un primo $\mathfrak p$ de $A$ (ya que los primos de $A$ generan el grupo de clases, por factorización única de los ideales). El complemento de $\mathfrak p$ en $\text{Spec}(A)$ no podría ser un conjunto abierto principal; de lo contrario, habría $f$ tal que $(f)=\mathfrak p^m$ para algunos $m$ , contradiciendo que $\mathfrak p$ tiene un orden infinito en $\text{Cl}(A)$ .

Nota: El bonito contraejemplo de Georges exhibe esta idea: la estructura de grupo en una curva elíptica no es otra que su (grado $0$ ) Grupo Picard. Por lo tanto, para encontrar un dominio Dedekind cuyo grupo de clase contenga un elemento de orden infinito, basta con encontrar una curva elíptica con un punto de orden infinito...

Answer 2

No, no es cierto que para un anillo Dedekind $A$ todos los subconjuntos abiertos de $X = \operatorname{Spec}(A)$ son principales. He aquí un contraejemplo:

a) Que $\bar X$ sea una curva elíptica sobre $\mathbb C $ et $P\in \bar X$ un punto de no torsión (esto significa que para todo $n\geq 1 $ tenemos $n\cdot P\neq O$ en el grupo abeliano $\bar X$ , donde $O$ es el elemento cero de $\bar X$ ).
Dejemos que $X=\bar X\setminus \lbrace O \rbrace$ .
El anillo $A=\Gamma(X,\mathcal O) $ es Dedekind-porque $X$ es afín y suave de dimensión uno, y tenemos $X=\operatorname{Spec}(A)$ .

b) Sin embargo, afirmo que $X_P= X\setminus \lbrace P \rbrace$ es un subconjunto abierto no principal de $X$ .

De hecho, si tuviéramos $X_P=D(f)$ para algunos $f\in A$ el divisor de $f$ visto como una función racional sobre $\bar X$ sería de la forma $div(f)=nP-nO\in \operatorname {Div}(\bar X)$ .
Pero entonces, por el teorema de Abel-Jacobi, tendríamos en el grupo $\bar X$ la relación $n\cdot P-n\cdot O=n\cdot P=O$ , contradiciendo la elección de $P$ .

Editar
Mientras escribía mi respuesta, Bruno dio un criterio perfecto para cada subconjunto abierto de $X = \operatorname{Spec}(A)$ ser principal: que $Cl(A)=Pic(X)$ sea la torsión.
Entonces, para qué anillos de Dedekind $A$ ¿Es eso cierto?
Mi contraejemplo, por supuesto, es uno en el que es no Es cierto.
En realidad, para cualquier curva elíptica $\bar X$ sólo un número innumerable de puntos del grupo $\bar X ( \mathbb C)$ son de torsión y esto implica que $Pic(X) \quad (X=\bar X\setminus \lbrace O \rbrace)$ tiene un número continuo de elementos que no son de torsión.

Pero esta es una cerveza pequeña.
Ahora viene la verdadera sorpresa: Claborn ha demostrado que dado cualquier grupo abeliano $G$ cualquiera, existe un anillo Dedekind $A$ con $Cl(A)=G$ .
Entonces, tomemos cualquier grupo abeliano $G$ con un elemento de no torsión y el teorema de Claborn le proporciona un anillo Dedekind $A$ cuyo espectro $\operatorname{Spec}(A)$ ¡tiene un subconjunto abierto no principal!