Demuestra que $Q_8 \not < \text {GL}_2( \mathbb {R})$

Question

El problema 18.1.10 en Dummit and Foote's Álgebra abstracta tercera edición:

Demuestra que $ \text {GL}_2( \mathbb {R})$ no tiene ningún subgrupo isomórfico a $Q_8$ . [ EA : El grupo de cuaterniones]. [Esto puede ser hecho por el directo computación usando generadores y relaciones para $Q_8$ . Simplifica estos cálculos poniendo un generador en forma canónica racional].

Lo que he hecho hasta ahora: $Q_8$ tiene presentación $ \langle -1, i, j, k \mid (-1)^2 = e, i^2 = j^2 = k^2 = ijk=-1 \rangle. $ El elemento $-1$ probablemente debería tener RCF $$ \left ( \begin {matrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end {matrix} \right ) \text { and not } \left ( \begin {matrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end {matrix} \right )$$ o de lo contrario le dificultaría estar en el centro. No estoy seguro de a dónde ir desde aquí, o qué es lo que están buscando.

Answer 1

El polinomio mínimo de un elemento de orden $4$ tiene que ser $x^2+1$ . Reemplazando los generadores por conjugados se puede asumir que $i$ está en una forma canónica racional. Es decir, $i = \left ( \begin {array}{rr}0&-1 \\1 &0 \end {array} \right )$ . Deje que $j = \left ( \begin {array}{rr}a&b \\c &d \end {array} \right )$ . Ahora usa las ecuaciones $k=ij$ , $j^2=k^2=i^2= \left ( \begin {array}{rr}-1&0 \\0 &-1 \end {array} \right )$ para obtener algunas ecuaciones que implican $a,b,c,d$ y derivar una contradicción. No es muy difícil.

Answer 2

está claro que $Q_8$ tiene el ciclo de 3 $(i,j,k)$ como un automorfismo externo. Sospecho, pero no sé cómo probarlo, que el único automorfismo externo no trivial (modulo de automorfismos internos) de un subgrupo de matriz finita de $GL(2, \mathbb {R})$ es la involución obtenida por la permutación $(a_{11} a_{22})(a_{12} a_{21})$