Deje $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ ser una densa secuencia.
Dado un cerrado conjunto no vacío $E$, definir $f(E)$ como sigue:
a) Si $E\cap \{x_n\mid n\in \mathbb N\}$ es no-vacío, deje $f(E)=x_m$ donde $m=\min\{n\in\mathbb N\mid x_n\in E\}$.
b) por otro lado, Si $E\cap \{x_n\mid n\in \mathbb N\}=\emptyset$,
definir $A_0=E$, $r_0=1$ y de forma recursiva
$$\tag1m_n=\min\{k\in\mathbb N\mid d(x_k,A_n)<2^{-n}\},$$
$$\tag2r_{n+1} = d(x_{m_n}, A_n),$$
$$\tag3A_{n+1}=\{a\in A_n\mid d(x_{m_n},a)\le 2r_{n+1}\}.$$
Tenga en cuenta que siempre vamos a tener $2^{1-n}\ge r_n>0$ $E=A_0\supseteq A_1\supseteq\ldots$ es un descendente de la cadena de conjuntos cerrados.
Deje $A=\bigcap_{n\in \mathbb N} A_n$. Por integridad, $A$ no está vacío. Y debido a que el diámetro de $A_n$ es en la mayoría de las $4r_{n}\to0$, no puede haber más de un elemento en $A$. Definir $f(E)$ como el único elemento de $A$.
Observación: tenga en cuenta que es posible que no hay ningún punto de $a\in A$ existe $d(x,A)=d(x,a)$, pero al menos tenemos que $d(x,A)=0$ implica $x\in A$ para los conjuntos cerrados $A$, un dthat caso especial es cubierto en la parte a) de modo que en realidad hemos $r_n>0$ en la parte b).
Edición (después de comentarios por Nate et. al.): La anterior prueba utilizado como la siguiente definición de integridad:
Cada disminución de la secuencia de conjuntos cerrados no vacíos withvanishing diámetro tiene intersección no vacía.
La misma construcción también se trabaja con la definición de Cada secuencia de Cauchy converge.
De hecho, la secuencia de $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ $y_n:=x_{m_n}$ como se ha construido de arriba es de Cauchy: Por $(1)$ existe $a\in A_{n+1}$ tal que $d(y_{n+1},a)<2^{-(n+1)}$. Por otro lado, $(3)$ $(2)$ implican $d(y_n,a)\le 2r_{n+1}=2d(y_n,A_n)<2\cdot2^{-n}$ esto $a$. En consecuencia, $d(y_n,y_{n+1})<\frac5{2^{n+1}}$, lo que conduce a $d(y_n,y_m)< \frac5{2^n}$$m>n$.
Por lo tanto $y=\lim_{n\to\infty}y_n$ existe y de $d(y_n,E)\le d(y_n,A_n)\to 0$ llegamos a la conclusión de $d(y,E)=0$ y por closedness $y\in E$ como se requiere.
Edit: Después de una noche de buen sueño, la construcción puede ser simplificado (no de los casos, trabajar directamente con secuencias de Cauchy):
Deje $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ ser una densa secuencia.
Dado un cerrado conjunto no vacío $E$, definir $f(E)$ como sigue:
Deje $m_0=\min\{n\in \mathbb N\mid d(x_n,E)<1\}$$y_0=x_{m_0}$. Extender esta forma recursiva a una secuencia $(y_n)_{n\in\mathbb N}$ con las propiedades $$\tag4d(y_n,y_{n+1})<2^{1-n}$$ and $$\tag5d(y_n,E)<2^{-n}.$$ To achieve this note that $d(y_n,E)<2^{-n}$ implies that the set $C_n=\{a\E\mediados de la d(y_n,a)<2^{n}\}$ is nonempty, hence the union of open balls $U_n=\bigcup_{un\en C_n} B(a,2^{-1-n}\}$ is a nonempty open set. Let $m_{n+1}=\min\{n\in\mathbb N\mediados de x_n \en U_n\}$ and set $y_{n+1}=x_{m_{n+1}}$. From $y_{n+1}\en U_n$ we conclude that there exists $\en C_n$ with $d(y_{n+1},a)<2^{-(n+1)}$. But for any such $$ we see from $\en C_n\subseteq E$ that $d(y_{n+1},A)<2^{-(n+1)}$ and $d(y_n,y_{n+1})\le d(y_n,a)+d(y_{n+1},a)<2^{-n}+2^{-(n+1)}<2^{1-n}$.
Por lo tanto podemos construir nuestra secuencia $(y_n)$ forma recursiva tal que $(1)$ $(2)$ mantener. Por $(4)$ y el triángulo de la desigualdad, es una secuencia de Cauchy, por lo tanto tiene un límite de $y$. De $(5)$ llegamos a la conclusión de que $d(y,E)=0$, por lo tanto $y\in E$ ya $E es cerrado.
