Cómo probar $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ es mayor que $\sqrt{15}-\sqrt{13}$

Question

Aunque puedo determinar usando una calculadora que $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ es mayor que $\sqrt{15}-\sqrt{13}$, ¿cómo haría demostrando? Mi profesor nos dio un Consejo que debía utilizar la diferencia de dos cuadrados identidad $(a^2-b^2) = (a-b)\cdot(a+b)$, pero no veo cómo proceder.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Tenga en cuenta % $ $$\sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } =\frac { \left( \sqrt { 5 } -\sqrt { 3 } \right) \left( \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } \right) }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } } ,\\ \quad \sqrt { 15 } -\sqrt { 13 } =\frac { \left( \sqrt { 15 } -\sqrt { 13 } \right) \left( \sqrt { 15 } +\sqrt { 13 } \right) }{ \sqrt { 15 } +\sqrt { 13 } } =\frac { 2 }{ \sqrt { 15 } +\sqrt { 13 } } \\ $

$$\frac { 2 }{ \sqrt { 5 } +\sqrt { 3 } } >\quad \frac { 2 }{ \sqrt { 15 } +\sqrt { 13 } } $$

Answer 2

$f(x)=\sqrt{x}$ es que una función cóncava en $\mathbb{R}^+$, por lo tanto cualquier fijo $h>0$ la función $$\Delta_h(x) = f(x+h)-f(x) $ $ es una función decreciente en $\mathbb{R}^+$.

Answer 3

Equivale a probar $\;\sqrt 5+\sqrt{13}>\sqrt 3+\sqrt{15}$.

Como todo el mundo es positivo, youy puede comparar las casillas: $$(\sqrt 5+\sqrt{13})^2=18+2\sqrt{65}\quad\text{vs}\quad (\sqrt 3+\sqrt{15})^2=18+2\sqrt{45}.$$ por cierto $\;65>45$.

Answer 4

$$\sqrt{5}-\sqrt{3}>\sqrt{15}-\sqrt{13}$ $ multiplica por el $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{15}+\sqrt{13})$ $$(5-3)(\sqrt{15}+\sqrt{13})>(15-13)(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ $o $$\sqrt{15}+\sqrt{13}>\sqrt{5}+\sqrt{3}$ $

Answer 5

Tenemos que demostrar que $\sqrt{13}+\sqrt{5}>\sqrt{15}+\sqrt{3}$, que es Karamata

porque $f(x)=\sqrt{x}$ es función cóncava y $(15,3)\succ(13,5)$.