Construcción de la ecuación diferencial del hamiltoniano arbitraria

Question

Supongamos que empiezo con el tiempo independiente de la ecuación de Schrödinger $$ \left(-\frac{1}{2m}\partial_x^2 + V(x)\right)\psi_n(x) = E_n\psi_n(x), $$ por lo general se especifique la función $V$ y, a continuación, resolver un conjunto de funciones propias y valores propios. Y para ser un poco más general, hacemos lo mismo con Sturm-Liouville ecuaciones, lo que voy a escribir en términos del impulso del operador y una función adicional a $U$, $$ \left(\hat{p} U(\hat{x}) \hat{p} + V(\hat{x})\right)\psi_n = E_n\psi_n.$$

Ahora nada nos detiene, desde la definición de un nuevo operador Hamiltoniano con los mismos vectores propios, pero diferentes arbitraria autovalores $\lambda_n$,

$$\hat{H}\psi_n = \lambda_n \psi_n$$ Bajo qué condiciones puede esta ecuación para el nuevo Hamiltoniano ser representado como (no necesariamente de segundo orden) de la ecuación diferencial en $x$ con las mismas funciones propias? En otras palabras, cuando no $\hat{H}$ pertenecen al operador de álgebra generada por $\hat{x}$$\hat{p}$?

Yo a ver si me definen el nuevo autovalores por algunos $n$independiente de la función de $f$ original de los autovalores $\lambda_n = f(E_n)$, me puede venir para arriba con una nueva ecuación diferencial, pero no esta de escape de las posibilidades?

Answer 1

Después de pensar en ello, siempre y cuando el original autovalores son no degenerados debe ser posible tener el nuevo Hamiltoniano ser representada por una ecuación diferencial de la forma arbitraria de alto orden. La clave es que la proyección de los operadores de $P_n$ sobre las funciones propias que existen en el álgebra generada por el original de Hamilton $\hat{H_0}$.

Por ejemplo, digamos que el n-ésimo valor propio es $E_n=2$, y no hay ningún otro autovalores entre 3 y 1. A continuación, podemos elegir una función de indicador $f_n(x)$ tal que $f_n(2)=1$ pero $f_n(x)=0$ si $x$ es menor que 1 o mayor que 3. Dado el suficiente continuidad de la Stone-Weierstrass teorema se aplica y podemos representar $f$ por un polinomio base $$ f_n(x) =\sum_k c_{n,k} x^k.$$ A continuación, el operador $$ P_n \equiv f_n(\hat{H}) = \sum_k c_{n,k} \hat{H_0}^k $$ se proyecto en el eigenfunction con autovalor 2. Los detalles que esto funciona incluso a pesar de que estamos tratando con infinitas sumas viene en las pruebas de Gelfand la dualidad.

Dado que los proyectores están en el álgebra generada por $\hat{H}_0$, el arbitrario Hamiltonianos $\hat{H}$ es también en el álgebra $$H=\sum_{n} \lambda_n P_n=\sum_{n,k} \lambda_n c_{n,k}\hat{H_0}^k,$$

y ya que el original de Hamilton puede ser ampliada en términos de funciones de $\partial_x$$x$, el Hamiltoniano $\hat{H}$ también se puede, aunque ahora en la general de la ecuación diferencial será de forma arbitraria de alto orden.