Números primeros en secuencias de Collatz

Question

Esta pregunta/petición es doble. En primer lugar, si esta es una pregunta estúpida, o si ha sido abordado antes, por favor decirlo así (franqueza es opcional), y voy a rastrear de nuevo en mi cueva...

Mi pregunta: hay siempre al menos un número primo en una secuencia de Collatz? Si es así, ¿por qué? Si alguien más informado que en la teoría de los números puede proporcionarme (un enlace) de una prueba, se lo agradecería.

He estado jugando con esta idea, y si tomamos en cuenta que el primer número 2 de la secuencia siempre será "atraído" a la primer número 5, que le proporciona la secuencia final 16, 8, 4, 2, 1.

Luego trató de una serie de valores de partida, corriendo a través de la Collatz algoritmo para ver cuántos números primos hay antes de que la secuencia alcanza los 5. Siempre hay al menos un número primo, la mayoría de las veces no hay más. A partir de la secuencia con 363 yo me vine con 9 números primos antes de golpear a las 5. Con 364 hay 18. Algunos otros valores de partida:

363 - 9 números primos, 364 - 18, 365 - 18, 366 - 16, 367 - 9, 368 - 2, 369 - 2, 370 - 11

Incluso si usted caso omiso de esto como una pregunta tonta, gracias por la lectura de todos modos.

Juan

Answer 1

Podemos producir una familia infinita de contraejemplos para el caso de que el valor inicial es impar.

Deje $p\geq 7$ ser arbitraria prime. A continuación, $p-1$ es par, entonces

$$2^{p-1}-1\equiv (-1)^{p-1} -1 \equiv 1-1 =0 \pmod 3$$

Por lo $\frac{2^{p-1}-1}{3}\in\mathbb Z$, y este número es impar, porque $2^{p-1}-1$ es impar. Por lo tanto, tomar como valor inicial, la secuencia de Collatz es: $$\left(\frac{2^{p-1}-1}{3},2^{p-2},2^{p-3},\dots,1\right)$$ Por Fermat poco teorema: $$2^{p-1}-1\equiv 0\pmod p$$ La condición en $p$ asegura, que $\frac{2^{p-1}-1}{3}>p$ mantiene. Pero $p\mid 2^{p-1}-1$ implica $p\mid\frac{2^{p-1}-1}{3}$ (debido a $p\neq 3$), por lo que este número no puede ser primo. Por lo tanto, la secuencia no contiene números primos (con la excepción de $2$ del curso).

---

Siempre se puede excluir este caso. Sin embargo, me parece que podría seguir para producir otros contra-ejemplos de utilización de esta misma "ingeniería inversa" de la técnica para producir una secuencia de Collatz con non-prime los valores iniciales, que conduce a una potencia de $2$. Esto sugiere fuertemente que una caracterización de tales valores de partida no es fácil.