El colector de Heisenberg

Question

Estoy interesado en el colector de Heisenberg, que es el cociente de la real Heisenberg grupo por el discreto Heisenberg (sub)grupo. Es una $3$-colector que puede verse como un círculo paquete encima de la $2$-toro, o como un $2$-toro paquete sobre el círculo. Puedo saber en donde puedo encontrar algo de material introductorio de este colector?

Por ejemplo: Es orientable? ¿Cuál es su (co)homología? (Ya que es un $K(\pi, 1)$ espacio, el homotopy grupos son claras.) También, hay muchas clases importantes de las 3-variedades; el colector de Heisenberg pertenecen a algunos de ellos?

Cualquier ayuda y referencia será muy apreciada.

Answer 1

Esta es una pregunta difícil de responder completamente, parcialmente debido a la clasificación de $3$-colectores es difícil. Probablemente la mejor respuesta a la pregunta "¿Qué tipo de categorías que podemos poner a $3$-colectores, podemos llegar a?" es la mejor contestada por Thurston de la conjetura de geometrización, que a grandes rasgos dice que compacta los colectores pueden ser cortados en pedazos, todo lo cual puede buscar en ocho formas diferentes.

Como usted va a encontrar a partir de su lista, su particular colector tiene nil geometría.

Un poco más cabe decir aquí: un montón de Thurston original del trabajo consistió en el estudio de la geometría de la superficie de paquetes o la asignación de tori en términos de su monodromy. Como usted menciona, su ejemplo es un caso particularmente simple, ya que es un toro paquete, es decir, la asignación de toro de un toro homeomorphism. Como la página de la Wikipedia de los estados, toro paquetes vienen en tres variedades (y que el mismo es cierto para los mayores género superficies es conocido como el de Nielsen–Thurston clasificación), dependiendo de su monodromy. Su colector es la asignación de toro de una Dehn giro y, en cierto sentido, la más simple no-trivial de paquete de la superficie.

Otra clase interesante de $3$-colectores de tto que su colector pertenece es la que consta de Seifert colectores. Ahora, cuando estaba leyendo tu pregunta, la terminología de "Heisenberg múltiple" en realidad no sonar una campana, por lo que tuve que mirar para arriba y llegó a través de esta encuesta, donde en el Ejemplo 7.4 se afirma que el colector de Heisenberg es un Seifert colector con Seifert símbolo $\{0,(o_1,1);(1,1)\}$ o, si se quiere, $\{ 1,(o_1,1)\}$ por las relaciones mencionadas en el artículo de la Wikipedia.

Answer 2

Vamos a escribir $M = H_3(\mathbb{R})/H_3(\mathbb{Z})$. El colector $H_3(\mathbb{R})$ es una Mentira grupo, por lo que sin duda es orientable. ($n$- Variedad es orientable si la estructura de grupo de su tangente paquete puede ser reducido a $\operatorname{GL}_n^+(\mathbb{R})$. Pero una Mentira grupo tiene un trivial de la tangente del paquete: la estructura de grupo puede ser reducido a $\{1\}$!) Los elementos de $H_3(\mathbb{Z})$ son las traducciones en la Mentira de grupo $H_3(\mathbb{R})$, por lo que cada uno es una orientación de la preservación de diffeomorphism. De ello se desprende que $M$ es orientable. $M$ es también claramente compacto y conectado, por lo que la Dualidad de Poincaré se aplica:

$H_0(M,\mathbb{Z}) \cong H_3(M,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$,

$H_1(M,\mathbb{Z}) \cong H_2(M,\mathbb{Z}) \cong H_3(\mathbb{Z})^{\operatorname{ab}}$.

Por lo que sigue siendo para el cálculo de la abelianization $H_3(\mathbb{Z})^{\operatorname{ab}}$. Si usted mira los generadores y relaciones para $H_3(\mathbb{Z})$ determinado en el artículo de la wikipedia, es casi inmediato que el abelianization es $\mathbb{Z}^2$.

También, hay muchas clases importantes de la 3-variedad; el colector de Heisenberg pertenecen a algunos de ellos?

Bueno, sí, por supuesto. Eso es una terrible pregunta vaga, y yo no soy un experto, pero el grupo de Heisenberg es el ejemplo más sencillo de un pacto nilmanifold más allá de tori. Nilmanifolds son importantes en una amplia variedad de áreas de las matemáticas, por ejemplo, en el grupo cohomology, geometría y topología algebraica. Cabe destacar que, en los últimos años, que han sido estudiadas por Green y Tao para sus aplicaciones con el aditivo de la combinatoria! El aforelinked artículo de la wikipedia contiene algunas referencias, lo suficiente como para saber mucho más acerca de este tema que yo.