¿Variante del teorema de convergencia dominada, hace siga que $\int f_n \to \int f$?

Question

Supongamos que $f_n$, $g_n$, $f$ y $g$ son integrables, $f_n \to f$ casi en todas partes, $g_n \to g$ casi en todas partes, $|f_n| \le g_n$ cada $n$ y $\int g_n \to \int g$. ¿Sigue que $\int f_n \to \int f$?

Answer 1

Primero observe que $|f|\leq g$ desde $|f_n|\leq g_n$ % todo $n$y $f_n\to f,g_n\to g$ casi en todas partes. Por lo tanto la función $$ h_n=g+g_n-|f-f_n| $ $ es no negativo, por lo que podemos aplicar el lema de Fatou para concluir $$ \int \liminf_{n\to\infty}h_n\leq \liminf_{n\to\infty}\int h_n$ $

Usando el hecho de que $\int g_n\to \int g<\infty$, se deduce $$ \limsup_{n\to\infty}\int |f_n-f|=0 $ $ y desde %#% $ #% esto muestra que el $$ \Big|\int f_n-\int f\Big|\leq \int |f-f_n| $.