El grupo de simetrías de las ecuaciones de Lagrange

Question

Considere las siguientes declaraciones, para un sistema clásico cuya configuración espacio tiene dimensión $d$:

1. Ecuaciones de Lagrange admitir a un pequeño grupo de "simetrías" (cambio de coordenadas en virtud de que las ecuaciones son formalmente sin cambios) de Hamilton;

2. El 'simpléctica diffeomorfism' (=los cambios de coordenadas cuyo jacobiano es un simpléctica $d$-paramétrico de la matriz) se encuentran grupo tiene dimensión mayor que $\dim G$, $G$ siendo la Mentira?) el grupo de simetrías del punto uno.

La primera es bien conocida para ser verdad. ¿Y el segundo? Existe una $G$ (a primera vista me parecía ser toda la $Diff(M)$; pero si es así, entonces 2 es falsa)? Si es cierto, puede que el punto 2 explicar el punto 1?

Answer 1

Aquí Hamiltoniana de los sistemas en la cotangente paquetes de $(T^{*}M, \omega_M, H)$ de un colector de $M$ serán consideradas.

Una simetría de el Hamiltoniano del sistema es un diffeomorphism que conserva 1) La cotangente del paquete de estructura, 2) la simpléctica canónica de la forma$\omega_M$, y 3) el Hamiltoniano $H$.

Un punto (o Noether) la simetría de la Lagrangiana se requiere, además de ser generado por un campo de vectores en $M$ cuyo canónica de elevación a $T^{*}M$ genera un Hamiltoniano de la simetría.

El grupo de symplectomorphism sólo es necesario para conservar la forma simpléctica y no se vincula con un hamiltoniano, por lo tanto es el largset grupo y, en general, de infinitas dimensiones.

Answer 2

0) supongamos por simplicidad se asume que la transformación de Legendre de Lagrange para la formulación Hamiltoniana es regular.

1) El Lagrangiano de la acción $S_L[q]:=\int dt~L$ es invariante bajo el infinito-dimensional grupo de diffeomorphisms de la $n$-dimensiones (generalizada) la posición del espacio $M$.

2) La acción de Hamilton $S_H[q,p]:=\int dt(p_i \dot{q}^i -H)$ es invariante (hasta el límite de términos) bajo el infinito-dimensional grupo de symplectomorphisms de la $2n$-dimensional del espacio de fase $T^*M$.

3) El grupo de diffeomorphisms de la posición del espacio puede ser prolongada en un subgrupo dentro del grupo de symplectomorphisms. (Pero en el grupo de symplectomorphism es mucho más grande.) El de arriba es dicho en la imagen activa. También podemos reformular en el pasivo de la imagen de transformaciones de coordenadas. A continuación, podemos prolongar una transformación de coordenadas

$$q^i ~\longrightarrow~ q^{\prime j}~=~q^{\prime j}(q)$$

en la cotangente del paquete de $T^*M$ en el estándar de la moda

$$ p_i ~=~ p^{\prime}_j \frac{\partial q^{\prime j} }{\partial q^i} ~.$$

No es difícil comprobar que la simpléctica de dos formas convierte invariante

$$dp^{\prime}_j \wedge dq^{\prime j}~=~ dp_i \wedge dq^i $$

(que corresponde a un symplectomorphism en la imagen activa).