Troll de las Matemáticas : Bijection entre P(N) y N?

Question

Yo sólo quería saber lo que está mal en el siguiente argumento:

Decir que me tome un número y volver a escribir como un binario. e.g 155 = 10011011

Entonces me puedo relacionar el número con un subconjunto de N, que contiene los exponentes de la 2, donde 1 es aparecer en forma binaria.

Así

$155 = 2^0 + 2^1 + 2^3 + 2^4 + 2^7 \Rightarrow \{0,1,3,4,7\}$

$64 = 2^6 \Rightarrow \{6\}$

$122 = 2^4 + 2^5 + 2^6 \Rightarrow \{4,5,6\}$

$0 \Rightarrow \{\} $

Ahora ya que cada número binario único de descomposición, y el mapa es un surjection, es un bijection entre el poder conjunto de N y N...

Answer 1

Todo esto demuestra es que hay un bijection entre el $\mathbb{N}$ y sus subconjuntos finitos. ¿A qué número corresponde al conjunto de los números impares?

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He aquí una prueba de que la muestra por qué este no puedo trabajar.

Suponga que $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N})$ es un surjection. Deje $Z = \left\{ x : x \in \mathbb{N} \wedge x \not\in f(x) \right\}$. Claramente $Z$ debe estar en el rango de $f$, por lo que debe haber algunos $y \in \mathbb{N}$ tal que $f(y) = Z$. Supongamos que $y \in Z$. Pero por la definición de $Z$, $y \not\in Z$. Así que, alternativamente, supongamos que $y \not\in Z$. Pero, de nuevo, por la definición de $y \in Z$. De cualquier manera tenemos una contradicción. De modo que no puede existir $f$.

Answer 2

Uno de los problemas es que el $\mathbb{N} \in P(\mathbb{N})$ y no hay ningún número natural que está asignado a $\mathbb{N}$, por lo tanto su función no es un surjection. Tal vez hay otros problemas también, no estoy entierly seguro.

Edit: Como Ilya señala en los comentarios, antes de que me las arreglé para publicar mi respuesta, hay por supuesto muchos otros infinitos subconjuntos de a $\mathbb{N}$ que no están en el rango de esta función.