Mostrando $\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2(x^2+4)}=\frac{\pi}{18}$ a través de contorno de integración

Question

Quiero mostrar que: $$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^2(x^2+4)}=\frac{\pi}{18}$$ así que teniendo en cuenta: $$\int_{\gamma} \frac{1}{(z^2+1)^2(z^2+4)}$$ where gamma is the curve going from $0$ to $-R$ along the real axis, from $-R$ to R via a semi-circle in the upper plane and then from $R$ a 0 a lo largo del eje real.

Utilizando el teorema de los residuos tenemos que: $$\int_{\gamma} \frac{1}{(z^2+1)^2(z^2+4)}=2\pi i \sum Res$$ así que reescribir el integrando como $\displaystyle\frac{1}{(z-2i)(z+2i)(z+i)^2(z-i)^2}$

podemos ver que hay dos polos en $2i$,$-2i$ y dos polos de orden 2 en $i$,$-i$. El cálculo de los residuos: $$Res_{z=2i}=\lim_{z\rightarrow 2i} \displaystyle\frac{1}{(z+2i)(z+i)^2(z-i)^2}=\frac{1}{36i}$$

$$Res_{z=-2i}=\lim_{z\rightarrow 2i} \displaystyle\frac{1}{(z-2i)(z+i)^2(z-i)^2}=\frac{-1}{36i}$$

$$Res_{z=i}\lim_{z\rightarrow i} \frac{d}{dz} \frac{1}{(z-2i)(z+2i)(z+i)^2}=\frac{2i}{36}+\frac{2}{24i}$$

$$Res_{z=-i}\lim_{z\rightarrow -i} \frac{d}{dz} \frac{1}{(z-2i)(z+2i)(z-i)^2}=\frac{-2i}{36}+\frac{-2}{24i}$$

Pero ahora la suma de los residuos es 0 y, entonces, cuando yo integrar sobre mi curva de dejar a R a ir a $\infty$ (y la integral superior semi-círculo se va a 0) me acaba de llegar de 0?

No está seguro de lo que he hecho mal? Muchas gracias por cualquier ayuda

Answer 1

Considerar el contorno $C$ que se extiende a lo largo de $-R$ $R$y alrededor del arco $Re^{i\theta}$$0\le\theta\le \pi$.

Dejar

$$f(z):=\frac{1}{(z^2+1)^2(z^2+4)}=\frac{1}{(z+i)^2(z-i)^2(z+2i)(z-2i)}$$

y vemos que los polos se encuentran en$\pm i$$\pm 2i$. Dejando $R \to \infty$, es muy claro que el denominador explota, causando la integral de todo el arco a desaparecer. Entonces

$$\oint_C f(z)\, dz = 2\pi i(\operatorname*{Res}_{z = i}f(z) + \operatorname*{Res}_{z = 2i}f(z))$$

debido a $2i$ $i$ son los únicos polos en $C$.
El polo de la $i$ es de orden 2:

$$ \operatorname*{Res}_{z = i}f(z) = \lim_{z \i} \frac{1}{1!}\frac{d}{dz} (z-i)^2 f(z)= \lim_{z \i} \frac{d}{dz}\frac{1}{(z+i)^2(z^2+4)}= \lim_{z \i} \frac{2(2z^2 +iz+4)}{(i+z)^3(4+z^2)^2}=-\frac{i}{36} $$

El polo de la $2i$ es simple:

$$ \operatorname*{Res}_{z = 2i}f(z) = \lim_{z \2i} (z-2i)f(z) = \frac{1}{(-4+1)^2(2i+2i)}=-\frac{i}{36} $$

Así que, finalmente,

$$ \int_0^\infty f(x)\, dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx = \pi i\left(-\frac{i}{36}-\frac{i}{36}\right) = \frac{\pi}{18} $$

Answer 2

Cuando se utiliza el teorema de los residuos, sólo se consideran residuos cerrado por el camino que se está integrando. En su caso, sólo se consideran residuos en la mitad superior del plano, como cualquier punto en la mitad superior del plano será cerrado por el semicírculo como $R$ va al infinito. Sólo $2i$ $i$ encuentran en la mitad superior del plano, de los cuatro polos de la función, de modo que sólo se consideran los residuos en los puntos. El error viene de sumar todos los residuos, incluso a aquellos que no se encuentran en la región delimitada por el contorno de la integración.