Clásica Hardy desigualdad (cfr. De Hardy-Littlewood-Polya Desigualdades, Teorema 327)
Si $p>1$, $f(x) \ge 0$ y $F(x)=\int_0^xf(y)\, dy$
$$\etiqueta{H} \int_0^\infty \left(\frac{F(x)}{x}\right)^p\, dx < C\int_0^\infty (f(x))^p\, dx $$
a menos que $f \equiv 0$. En lo posible constante es de $C=\left(\frac{p}{p-1}\right)^p$.
Me gustaría probar la declaración en cursiva con respecto a las mejores constante. Como ya se ha señalado por la Voluntad Jagy aquí, el libro sugiere pruebas de estrés de la desigualdad con
$$f(x)=\begin{casos} 0 & 0\le x <1 \\ x^{-\alpha} & 1\le x \end{casos}$$
con $1/p< \alfa < 1$, entonces $\alpha \a 1/p$. Si lo hago puedo conseguir por $C$ el límite inferior
$$\operatorname{lim sup}_{\alpha \a 1/p}\frac{\alpha p -1}{(1-\alpha)^p}\int_1^\infty (x^{-\alpha} x^{-1})^p\, dx\le C$$
pero ahora me encuentro en problemas de computación que lim sup. Alguien puede prestarme una mano, por favor?
ACTUALIZACIÓN: UN primer intento, basado en una idea de Davide Giraudo, lamentablemente no pudo. Davide señaló que el crédito siga con facilidad de
$$\etiqueta{!!} \left\lvert \int_1^\infty (x^{-\alpha} x^{-1})^p\, dx \int_1^\infty x^{-\alpha p }\, dx\right\rvert \0\quad \text{como}\ \alpha \a 1/p. $$
Pero esto es falso en general: por ejemplo, si $p=2$ obtenemos
$$\int_1^\infty (x^{-2\alfa} -x^{-2\alpha} + 2x^{-\alpha-1} x^{-2})\, dx \a \int_1^\infty(2x^{-3/2} x^{-2})\, dx \ne 0.$$