¿Es demostrable cualquier frase verdadera de los Axiomas de Peano de segundo orden

Question

Perdone lo elemental de la pregunta. Entiendo que los Axiomas de Peano de segundo orden son categóricos en el sentido de que todos sus modelos son isomorfos. Se considera que esta clase de equivalencia de modelos es la definición de los números naturales.

Mi pregunta es esa: ¿Es completa la teoría definida por esos axiomas de segundo orden? es decir, ¿es cada enunciado de segundo orden de esta teoría demostrable o refutable a partir de los axiomas?

Para los axiomas de primer orden de la Aritmética de Peano, cualquier enunciado que sea verdadero en todos los modelos es demostrable o refutable por la completitud de la lógica de primer orden, pero por supuesto esto no es aplicable a los axiomas de segundo orden.

Answer 1

Entre ellos, los comentarios y respuestas anteriores ya han cubierto todos los puntos relevantes, pero aquí va, en cualquier caso, una respuesta directa y poco sofisticada:

Cualquier procedimiento eficaz (es decir, cualquier cosa que se pueda programar) para demostrar enunciados de la lógica de segundo orden debe ser incompleto (a menos que demuestre enunciados falsos). De lo contrario, como la aritmética de segundo orden es categórica, tendríamos un procedimiento eficaz para determinar la verdad aritmética. Pero esto es imposible por el primer teorema de incompletitud de Gödel.

Answer 2

Obsérvese que hay dos tipos diferentes de modelos de lógica de segundo orden: los modelos estándar, en los que las variables cuantificadas de segundo orden abarcan todos los subconjuntos del dominio; y los modelos de Henkin, en los que se permite que las variables cuantificadas de segundo orden abarquen un subconjunto adecuado del conjunto de potencias completo.

Henkin demostró el teorema de completitud de la lógica de segundo orden para los modelos de Henkin, de modo que si una sentencia es verdadera en todos los modelos de Henkin, es derivable. Para que la completitud sea válida, no basta con considerar sólo los modelos estándar, de modo que aunque la AP de segundo orden es categórica para los modelos estándar, no es completa (como cabría esperar, al ser éste un corolario del teorema de Gödel).

Answer 3

Si una teoría sólo tiene un modelo, entonces por supuesto que es completa, en el sentido de que cualquier afirmación o su negación es una consecuencia de la teoría, ya sea porque se sostiene en el modelo único o no.

Como usted menciona, no es sólo un modelo de segundo orden PA, y este es el modelo de los números naturales. Por lo tanto, de segundo orden PA es completa para el primer fin de afirmaciones.

Uno puede fácilmente extender este segundo orden de las afirmaciones realizadas por la observación de que cualquier isomorfismo de primer orden de las estructuras se extienden a un isomorfismo de segundo orden de estructuras también, si uno de los decretos que la de segundo orden, parte de las estructuras debe contener todos los subconjuntos. Por lo tanto, hay isomorfismo sólo uno de segundo orden de la estructura de segundo orden PA, y de modo que la teoría es completa para el segundo fin de afirmaciones.

PERO, hay cosas interesantes aún que decir acerca de la incompletitud. Y la razón es que el concepto de segundo orden es un conjunto teórico concepto, y así a la pregunta de cuáles son las afirmaciones verdaderas en este segundo orden del modelo de segundo orden PA se exhiben muchas de conjunto de la teoría de las independencias. Es decir, ZFC demuestra que la teoría de los números naturales es una teoría completa, pero de diferentes modelos de ZFC tendrá sus números naturales satisfacer las diferentes declaraciones. Esto es cierto, ya en el primer orden de teoría, ya que algunos modelos de ZFC tendrá la aritmética declaración Con(ZFC) ser fiel en sus números naturales, pero otros tendrán la negación de este ser verdadero en sus números naturales.

Debido a que este tipo de problema, muchos de los lógicos, prefieren entender la de segundo orden de la teoría de primer orden de la forma, diciendo que uno especifica un segundo orden del modelo, dando en primer lugar, es de primer orden y, a continuación, especificando también la colección de subconjuntos que son para ser utilizado como la interpretación de la segunda orden de parte. Por lo tanto, una de segundo orden del modelo de PA se compone de una estructura de primer orden (N,+,.,<,0,1) junto con una colección de subconjuntos de N, para ser utilizado para la interpretación de la segunda orden de los cuantificadores a través de subconjuntos. En este sentido más débil de segundo orden, que uno pierde la categoricity, y no puede ser no-estándar de los modelos de nuevo, incluso en el primer pedido de parte.